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2024届高三年级上学期期初模拟测试（一）
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A=¿，集合B=¿，则B=（ ）
A．{0,1} B．{0,1,2} C．{1,2,3} D．{1,2,3,4}
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
z ,z z +z =iz ,z2=2i |z |=
1 2 1 2 1 2 1
A．1 B．√2 C．√3 D．√5
3．设α，β均为锐角，则“α>2β”是“sin(α−β)>sinβ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面
1
和下底面半径之比为 ，则该圆台体积为（ ）
2
7 3 1 √2
A． B． C． D．
8 4 2 2
5．贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时
期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合
体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何
体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的
4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为 ，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为
（ ）
A． B． C． D．
1
学科网（北京）股份有限公司6．若 ( π) cos2α 3，则 ( π) （ ）
α∈ 0, , = cos α+ =
2 1+tan2α 8 6
√3 √2 1
A． B． C． D．1
2 2 2
7．已知在Rt△ABC中，CA=CB=2，以斜边AB的中点O为圆心，AB为直径，在点C的
另一侧作半圆弧AB，点M在圆弧上运动，则⃗CA⋅⃗CM的取值范围为（ ）
A． B．
[0,2+2√2] [0,4]
C． D．
[0,6] [2−2√2,4]
4−ln4 ln2 1
8．设a= ，b= ，c= ，则（ ）
e2 2 e
A．a2√2) M(√2,1)
a2 8 2
√2
− 的两条直线l ，l ，其中l 与C交于P,Q两点，l 与C交于S,T两点，且⃗OP=2⃗OM，
2 1 2 1 2
则（ ）
√2
A．C的离心率为 B．|ST|=6
2
21 1 1 1
C． + = + D．P,Q,S,T四点共圆
|MP| |MQ| |MS| |MT|
12．已知数列 的项数均为 （ 为确定的正整数，且 ），若
{a }, {b } k k k≥2
n n
， ，则（ ）
a +a +⋯+a =2k−1 b +b +⋯+b =3k−1
1 2 k 1 2 k
A． 中可能有 项为1 B． 中至多有 项为1
{a } k−1 {b } k
n n
C．{b
n
}可能是以3为公比的等比数列 D．{b
n
}可能是以2为公比的等比数列
a 2 a
n n
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．数列 满足 ， 2(n+2) ，则 a
{a } a =2 a = a (n∈N∗) 2022 =
n 1 n+1 n+1 n a +a +⋅⋅⋅+a
1 2 2021
14．在三棱锥P−ABC中，AC=BC=PC，且∠APC=∠BPC=∠ACB=30°，则直线
PC与平面ABC所成角的余弦值为 .
15．已知直线 与双曲线C： 交于点 ， .
2x−y−2=0 x2−y2=1 A(x ,y ) B(x ,y ) P(x ,y )
1 1 2 2 3 3
为C上一点，且x 0
2x+b
恒成立，则m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．已知等差数列 和等比数列 满足， .
{a } {b } a =2,b =1,a +a =10,b b =−a
n n 1 1 2 3 2 3 4
(1)求数列 ， 通项公式
{a } {b }
n n
(2)设数列 中满足 ，求和
{c } c =a +b c +c +c +⋯+c
n n n n 1 3 5 2n−1
a(sinC−sin A)
18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 =c−b．
sinC+sinB
(1)求B﹔
3
学科网（北京）股份有限公司tanB tanB sin A
(2)若 + =4，求 的值．
tan A tanC sinC
19．中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之
前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)，此
举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生
深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动汽车是重要的战略
新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解某一地区电动汽车销售情况，
一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于x(年份)的线性
回归方程为 ＝4.7x－9495.2，且销量y的方差 ，年份x的方差为 ．
^y s2=50 s2=2
y x
(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买电动汽
购买非电动汽车 总计
车
男性 30 20 50
女性 15 35 50
总计 45 55 100
能否有99%的把握认为购买电动汽车与性别有关?
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取4
人，记这4人中，男性的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式；
n
∑(x −x)(y −y)
i i
(i)线性回归方程： ^y=b^x+a ，其中 b^= i=1 ， a= y−b^x ；
n
∑(x −x) 2
i
i=1
n
∑(x −x)(y −y)
i i
(ii)相关系数：r= i=1 ，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关较强；
√ n n
∑(x −x) 2∑(y −y) 2
i i
i=1 i=1
(iii) n(ad−bc) 2 ，其中n＝a＋b＋c＋d．
χ2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
4附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.828
α
20．在四棱锥P−ABCD中，CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,AC⊥PB．
(1)证明：平面PAC⊥平面PBC﹔
(2)若PB⊥BC，直线PB与平面PAC所成的角为30°，求PD的长．
21．已知双曲线 ：x2 y2 的右焦点为 ，左顶点为A，且 ，
C − =1(a>0,b>0) F |FA|=2+√5
a2 b2
F到C的渐近线的距离为1，过点B(4,0)的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线
AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为k ，k ，判断k k 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，
1 2 1 2
请说明理由.
22．已知函数 ．
f(x)=ex+(2−a)cosx
(1)若f(x)在[0,+∞)单调递增，求a的取值范围；公众号：全元高考
(2)当x≥0时，f(x)≥a(x−1)+3，求a的取值范围．
5
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