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（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．现
2024 届新高三开学摸底考试卷（天津专用）
将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则
下列说法中有错误的是（ ）
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
A．第三组的频数为18人
在本试卷上无效。
B．根据频率分布直方图估计众数为75分
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．） D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
5．设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
A． B． C． D．
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
6．若所有棱长都是3的直三棱柱 的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事
A． B． C． D．
休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象
7．已知 是抛物线 的焦点，抛物线 的准线与双曲线 的两条
的特征．我们从这个商标 中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ）
渐近线交于 ， 两点，若 为等边三角形，则 的离心率 （ ）
A． B． C． D．
8．将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若 在区间
A． B． C． D． 上单调递增，且函数 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围是
4．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分A． B． C． D．
9．如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且 ， ．若点N在线段CD（端点
除外）上运动，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．第Ⅱ卷
二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对
的给5分。）
10．已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 的虚部为______________． 17．（15分）已知如图，四边形 为矩形， 为梯形，平面 平面 ，
， ， ．
11．在 的展开式中， 的系数是______________．
（1）若 为 中点，求证： 平面 ；
12．已知圆 的圆心与点 关于直线 对称，直线 与圆 相交于 、 两点， （2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在一点 （除去端点），使得平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ？
且 ，则圆 的方程为______________．
若存在，请说明点 的位置；若不存在，请说明理由．
13．已知 ， ， ，则 的最小值为______________．
14．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取
2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名
女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________．
15．已知函数 ，若存在实数 .满足 ，且
，则 ___________， 的取值范围是______________．
三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）
18．（15分）已知过点 的椭圆 的离心率为 . 如图所示，过椭圆右焦
16．（15分）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，
. 点 的直线（不与 轴重合）与椭圆 相交于 两点，直线 与 轴相交于点 ，过点A作 ，
(1)求 的值；
垂足为 .
(2)求 的值；
(1)求四边形 为坐标原点 的面积的最大值；
(2)求证：直线 过定点 ，并求出点 的坐标.
(3)求 的值.20．（15分）已知函数 ， ．
19．（15分）已知 为等差数列，数列 满足 ，且 ， ， .
(1)讨论函数 的单调性；
(1)求 和 的通项公式；
(2)记 ，设 ， 为函数 图象上的两点，且 ．
(2)若 ，求数列 的前 项和；
（ⅰ）当 ， 时，若 在点 处的切线相互垂直，求证： ；
（ii）若 在点 处的切线重合，求 的取值范围．
(3)设 的前 项和为 ，证明： .公众号：高中试卷君
