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2024 届新高三开学摸底考试卷（天津专用）
数学·全解全析
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．）
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出集合 、 、 ，再求交集可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 .
故选：D.
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事
休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象
的特征．我们从这个商标 中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先判断函数的奇偶性，再取特殊值逐个分析判断即可
【详解】由图象可知，函数图象关于 轴对称，所以函数为偶函数，
对于A， ，所以 是偶函数，当 时，令 ，则
，得 ，则当 时，函数的第一个零点为 ，当 时， ，
，所以 ，所以A不合题意，
对于B，因为 ，所以 是奇函数，所以不合题意，
对于C，因为 ，所以 是偶函数，当 时，令 ，则
，得 ，所以当 时，函数的第一个零点为 ，当 时，
， ，所以 ，所以符合题意，
对于D，因为 ，所以 是奇函数，所以不合题意，故选：C
4．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打
分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．
现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图
形则下列说法中有错误的是（ ）A．第三组的频数为18人
B．根据频率分布直方图估计众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
【答案】C
【解析】对于A频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，而频率的和等于1，可求出分数在
[60,70）内的频率；对于B根据众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标即可得解；对于
C，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，将中点值与每一组的频率相差再求出它们的和即可求出
本次考试的平均分，对于D，由中位数将所有的小长方形的面积均分即可求解．
【详解】对于A，因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60，70）内的频率为：f＝1﹣10
（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）＝0.15，
所以第三组[60,70）的频数为120×0.15＝18（人），故正确；
对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故
正确；
对于C，又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：45×（10×0.005）+55×（10×0.015）+65×
（10×0.015）+75×（10×0.03）+85×（10×0.025）+95×（10×0.01）＝73.5（分），故错误；
对于D，因为（0.05+0.15+0.15）×10＝0.35＜0.5，（0.05+0.15+0.15+0.3）×10＞0.5，所以中位数位于
[70,80）上，所以中位数的估计值为：70 75，故正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了频率及频率分布直方图，以及平均数有关问题，考查运用统计知识解决简单实际
问题的能力，数据处理能力和运用意识．本题属于中档题．
5．设 ， ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算法则即可求解.
【详解】由 得 ，所以 ，
故选：C
6．若所有棱长都是3的直三棱柱 的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．
【详解】解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离
为： ；所以外接球的半径为： ．
所以外接球的表面积为： ．
故选：C
【点睛】本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间
想象能力，计算能力．
7．已知 是抛物线 的焦点，抛物线 的准线与双曲线 的两条
渐近线交于 ， 两点，若 为等边三角形，则 的离心率 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用
三角形是等边三角形求出 ， 的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值．
【详解】解：抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为： ，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程 ，
解得 ，可得 ，为等边三角形，可得 ，即有 ，
则 ．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，
属于中档题．
8．将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若 在区间
上单调递增，且函数 的最大负零点在区间 上，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象的位置特征，
列出关于 的关系式，最后确定取值范围.
【详解】函数 的图象向右平移 个单位后，得到函数 的图象,所以
， ， 在区间 上单调递增，所以有
①；当 时，函数 ，而 ，所以函数
的最大负零点为 ，它在区间 上，所以有 ②，结合
①②， 的取值范围是，故本题选D.
【点睛】本题考查了正弦型函数图象的变换规律，正弦型函数的单调性和零点，考查了运算能力.
9．如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且 ， ．若点N在线段CD（端点
除外）上运动，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，求出 的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.
【详解】连接 ，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，
因为 ，即 是正三角形，于是 ，而M为AB的中点，且 ，
所以 .
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及定长的线段两端点为向量端点的向量数量积，取线段的中点，借助向量数量积的
计算公式求解是关键.
第Ⅱ卷
二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答
对的给5分。）
10．已知复数 满足 （其中 为虚数单位），则复数 的虚部为______.
【答案】
【分析】由模长公式及复数的四则运算得出复数 ，进而即得.
【详解】因为 ，
所以 ，
则 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为： .11．在 的展开式中， 的系数是________．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于 ，计算展开式中含有 项的系数即可.【详解】由题意得： ， ，
只需 ，可得 ，
所以 ，
故答案为： .
12．已知圆 的圆心与点 关于直线 对称，直线 与圆 相交于 、 两点，
且 ，则圆 的方程为______．
【答案】
【详解】设圆心坐标C(a，b)
∵圆心与P关于直线y=x+1对称
∴直线CP与y=x+1垂直
∵y=x+1的斜率为1
∴直线CP的斜率为-1
∴
化简得：a+b+1=0 ①
∵CP的中点在直线y=x+1上
∴
化简得：a-b-1=0 ②
联立①②得到：a=0，b=-1
∴圆心的坐标为：(0，-1)
∵圆心C到直线AB的距离d= ,
∴根据勾股定理得到半径 =18
∴圆的方程为 .13．已知 ， ， ，则 的最小值为_____．
【答案】4
【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，
利用a+b≥2 代入已知条件，转化为解不等式求最值．【详解】∵2xy＝x·(2y)≤ 2，
∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋ 2，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.
14．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽
取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有
一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________．
【答案】
【分析】应用组合数，超几何分布的概率求法求恰有一名女生参加、至少有一名女生参加的概率，进而求
至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率（条件概率）.
【详解】由题设，抽取2人，恰有一名女生参加，其概率 ，
至少有一名女生参加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率 ，
所以，在至少有一名女生参加条件下，恰有一名女生的概率 .
故答案为： ，
15．已知函数 ，若存在实数 .满足 ，且
，则 ___________， 的取值范围是___________.
【答案】 1
【分析】作出函数 的图象，结合图象可知 之间的关系，利用此关系直接求出 ，再将
转化为关于 的二次函数求范围即可.【详解】作出函数 的图象，如图，因为 ，
所以由图可知， ，即 ， ，且 ，
，
在 上单调递增，
，
即 的取值范围是 .
故答案为：1；
三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）
16．(本题15分)在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，
.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）由正弦定理化简已知式可得 ，再由同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）由余弦定理求解即可；
（3）由题意可得出 ，再由二倍角的正弦和余弦公式及两角和的余弦公式求解即可得出答
案.
【详解】（1）由 及正弦定理，得 ，因为 ，
所以 ，且 .
又 ，可得 .
（2）因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 (负值舍去).
（3）由（1）及 ， ， ，得 ，
从而 .
由（1）得 .
， ，
所以
.
17．(本题15分)已知如图，四边形 为矩形， 为梯形，平面 平面 ，
， ， ．
（1）若 为 中点，求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；（3）在线段 上是否存在一点 （除去端点），使得平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ？
若存在，请说明点 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）存在， .靠近C的三等分点
【分析】（1）设 与 交于点 ，连接 ，则可得 为 的中点，而 为的中点，由三角形中位线定理可得 ，然后由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由已知可证得 ， ， 两两垂直，所以分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐
标系，利用空间向量求解即可，
（3）假设存在点 ，满足题意，且此时 ，然后利用空间向量求二面角
【详解】（1）证明：如图，设 与 交于点 ，连接 ，
∵四边形 为矩形，
∴ 为 的中点，又因为 为 的中点，
∴ ，而 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，
所以 ， ， 两两垂直，
所以如图，分别以 为坐标原点，以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
根据题意，则有 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
假设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，
设直线 与平面 所成角的平面角为 ，
则有 ．（3）解：假设存在点 ，满足题意，且此时 ，即得 ，
则有 ， ，
假设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，
又因为平面 的一个法向量为 ，
根据题意，则有 ，
解之可得， ，
即得 ，即点 为线段 上靠近点 的一个三等分点，坐标为 ．
18．(本题15分)已知过点 的椭圆 的离心率为 . 如图所示，过椭圆右
焦点 的直线（不与 轴重合）与椭圆 相交于 两点，直线 与 轴相交于点 ，过点A作
，垂足为 .
(1)求四边形 为坐标原点 的面积的最大值；
(2)求证：直线 过定点 ，并求出点 的坐标.
【答案】(1)最大值为 (2)证明见解析，【分析】（1）由题可得椭圆方程为： ，则椭圆右焦点为 ，易知当斜率为0时不合题意，
斜率不为0时，设直线 的方程为 ， ， ，
将直线方程与椭圆方程联立，可得四边形 的面积为，后利用韦达定理及基本不等式可得面积最值；
（2）由（1）可得直线BD方程为： ，令 可得： ，化简后可
得定点坐标.
【详解】（1）由题意可得： ，解得： ，所以椭圆 的方程为 ，则椭圆的
右焦点为 ，
当直线 的斜率等于 时不符合题意；
设直线 斜率不为0时，直线方程为 ， ， ，
由 可得： ，
则 ， ， ，
所以 ，
所以四边形 的面积为
，
设 ，则 ，所以 ，
因为 ，当且仅当 即 ， 时， 最小值为 ，
所以 ，因为 ，可得
所以四边形 （ 为坐标原点）的面积的最大值为 ；（2）因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为： .
令 可得： .
由（1）知： ， ，则所以 ，则直线 过定点 .
【点睛】关键点点睛：本题涉及圆锥曲线中的面积及直线过定点问题，难度较大.
（1）问所涉面积表达式利用韦达定理整理后多为分式形式，常利用换元，上下同除等手段处理；
（2）问所涉直线参数较多，但题目可由对称性确定定点在x轴上，故令 .
19．(本题15分)已知 为等差数列，数列 满足 ，且 ， ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和；
(3)设 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1) ， (2) (3)证明见解析
【分析】（1）分析可知 为等比数列，确定该数列的公比与首项，可求得数列 的通项公式；
（2）求出数列 的通项公式，利用奇偶分组求和法结合等差数列的求和公式、错位相减法即可求得数列
的前 项和；
（3）先证明柯西不等式 ，求出 ，然后利用柯西不
等式可证得结论成立.
【详解】（1）解：由 及 可知，数列 是以 为公比的等比数列，
所以， ，故 ，
设等差数列 的公差为 ，由 ，可得 ， ，
所以， .（2）解： ，设数列 的前 项和为 ，
，
记 ， ，所以， ，
，①
，②
① ②可得
，所以， ，
因此， .
（3）证明：先证明柯西不等式 ，
构造函数 ，
显然 且 ，
所以， ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立，
本题中，由（1）可得 ，
所以， ，且 ，
所以， ，
，所以， ，
但 不恒为常数，所以等号不成立，则 .
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于 结构，利用分组求和法；
（4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂项相
消法求和.
20．(本题15分)已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)记 ，设 ， 为函数 图象上的两点，且 ．
（ⅰ）当 ， 时，若 在点 处的切线相互垂直，求证： ；
（ii）若 在点 处的切线重合，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ii）
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，判断函数的单调性即可；
（2）（ⅰ）求出 的解析式，根据基本不等式的性质判断即可；
（ii）求出 的坐标，分别求出曲线在 的切线方程，结合函数的单调性确定 的范围即可.
【详解】（1） ，则 ，
当 即 时， ， 在 上单调递减，
当 时即 时， ，令 ，得 或 ；令 ，得 ；
此时 在 和 上单调递减，在 上单调递增；
（2）（ⅰ） ，据题意有 ，又 ，
则 且 ，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
（ii）要在点 处的切线重合，首先需要在点 处的切线的斜率相等，
而 时， ，则必有 ，即 ， ，
处的切线方程是： ，
处的切线方程是： ，即 ，
据题意则 ， ，
设 ， ， ，
令 ， 在 上恒成立,
则 在 上单调递增 ,
则在 上， 在 上单调递增，
则 ,
令 ，则 在 上单调递增,
所以 ，故 在 恒成立
即当 时 的值域是 ，
故 ，即为所求．
【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：
（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；
（2）转化为函数图像的交点问题，数形结合解决问题；
（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.公众号：高中试卷君
