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2024年高考押题预测卷01【北京卷】
数学·全解全析
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
9 10
1 2 3 4 5 6 7 8
A B
A A A A D B C D
1．【答案】A
【分析】根据补集的定义可得出集合 .
【详解】集合 ， ，则 ．
故选：A．
2．【答案】A
【分析】对方程 进行等价转化，即可进行判断.
【详解】因为 ，故可得 或 ，
则“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
3． 【答案】A
【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由抛物线 ，可得抛物线的开口向上，且 ，所以 ，
所以抛物线的焦点坐标为 .
故选：A.
4． 【答案】A
【分析】利用复数除法计算出 ，从而得到 ，求出答案.
1
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 ，
则 ，解得 ，则 ，
故共轭复数 对应的坐标为 .
故选：A
5． 【答案】D
【分析】利用任意角的三角函数的定义求出 ，再用诱导公式化简即可求得结果．
【详解】因为角 的终边经过点 ， ，则 ，
所以 ．
故选：D．
6．【答案】B
【分析】令 ，则由 可得 ,所以数列 是以 为首
项,2为公比的等比数列,可得到 ，然后用累加法得到 ，通过 的单调性即
可求出 的最大值
【详解】由 ,得 ,
令 ,所以 ,则 ,
所以数列 是以 为首项,2为公比的等比数列,
所以 ,即 ,即 ,
由 ,
2
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学科网（北京）股份有限公司将以上 个等式两边相加得 ,
所以 ,
经检验 满足上式，故
当 时, ,即 单调递增,当 时, ,即 单调递减,
因为
,
所以 的前 项和 的最大值为 ，
故选：B
7．【答案】C
【分析】由题意可得，圆 的圆心为 ，半径为1，结合 是等腰直角三角形，可得圆心
到直线 的距离等于 ，再利用点到直线的距离公式，从而可求得 的值．
【详解】解：由题意得，圆 的圆心为 ，半径为1，
由于直线 与圆 相交于 ， 两点，且 为等腰直角三角形，
可知 ， ，
所以 ，
∴圆心 到直线 的距离等于 ，
再利用点到直线的距离公式可得：
圆心 到直线 的距离 ，
解得： ，所以实数 的值为1或－1.
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司8． 【答案】D
【分析】先将 改写为 ，再利用函数 的单调性判断即可
【详解】由题, ，对于指数函数 可知在 上单调递增,
因为 ，所以 ，即
故选：D
9．【答案】A
【分析】求出渐近线方程，由点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离，将此距离和半径作比较，得
出结论．
【详解】双曲线 的渐近线为 ，
圆 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 (半径)，
故渐近线与圆相切，故选A．
10． 【答案】B
【解析】由题意可得 ，结合函数的单调性，从而可以判断 ，即
在 上单调递增，从而判断出结果.
【详解】因为 ， 是定义在 上的增函数， ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时， ，而 ，所以此时 ，
当 时， ，而 ，所以此时 ，
结合选项，可知对于任意 ，
故选B.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．【答案】15
【详解】试题分析： 的展开式的通项 ，
令 可得 ，
则常数项为 .
12．【答案】
【分析】先计算出 ，然后再求解 从而求解.
【详解】由题意得 ，
所以 .
故答案为： .
13．【答案】
【详解】试题分析：因为 ，所以
14．【答案】3
【分析】利用角的关系以及三角恒等变换相关公式将条件中的恒等式化简，即可求出角 ，然后利用面积
公式得到 ，结合余弦定理以及基本不等式，即可求出 的最小值.
【详解】因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 ，
代入上式化简得：
所以 ，因为 ，所以 ；
因为 ，所以得 ；
因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为3.
15．【答案】①③④
【分析】设点 ，曲线 为“合作曲线” 存在点 使得 ．解出即可判断出结论．
【详解】解：设点 ，曲线 上存在一点 ，使 ，
合作曲线 存在点 使得 ．
①由 ，则满足存在点 使得 ，曲线 上存在一点 满足 ，故 为合作曲
线；
②令 ，则 ，化为 ，此时无解，即不满足 ，故 不为合作曲线；
③由 ，可得 ， ，则曲线 上存在一点 满足 ，故 为合作曲线；
④由 ，可得： ， ，则曲线 上存在一点 满足 ，故 为合作曲线；
⑤因为直线圆心到直线 的距离 ，故曲线 上不存在一点 满足 ，故 不为合
作曲线；
综上可得：“合作曲线”是①③④．
故答案为：①③④
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（14分）【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 为 中点
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）取 中点 ，连接 ，证明四边形 是平行四边形可得 ，结合线面平
行的判定定理可完成证明；
（2）取 中点 ，连接 ，先证明 平面 ，然后判断出线面角为 ，最后结合线段
长度求解出结果；
（3）先证明 平面 ，然后建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面 和平面 的一
个法向量，根据法向量夹角的余弦值的绝对值的结果求解出 的值，则结果可知.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ，
又因为 为 的中点，所以 ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）取 中点 ，连接 ，
因为四边形 为矩形，且 为 的中点，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以四边形 为平行四边形，所以
因为几何体为直三棱柱，
所以 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 与平面 所成角即为 ，
因为 为 中点，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 与平面 所成角的大小为 ；
（3）设存在 满足条件，
连接 ，因为 为正三角形，所以 也是正三角形，
因为 为 中点，所以 ，
因为几何体为直三棱柱，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司以 为原点，以 方向为 轴正方向，在平面 内过点 垂直于 方向为 轴，建立如图
所示空间直角坐标系，
则 ，设 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
取平面 的一个法向量 ，
所以 ,
解得 或 （舍去），
此时由图可知，二面角 的平面角为钝角，
所以当 为 中点时，二面角 的大小为 .
17．（13分）【答案】(1)选择见解析；答案见解析(2)答案见解析
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据题意先把函数 进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三
角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数 存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数 的解析式，然后求出在区间 上的最大值和
最小值.
【详解】（1）由题意得：
.
当选条件①： ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 时，即得： ，即 .
当选条件②：
从而得：当 时， 单调递增，
化简得：当 时， 单调递增，
又因为函数 在区间 上是增函数，
所以得： ，解之得： ，
当 时，得 ，与已知条件 矛盾，故条件②不能使函数 存在.
故：若选条件②， 不存在.
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0
学科网（北京）股份有限公司当选条件③：
由 ， ，
得当 时， ，又因为 ，
所以得 ，得 .
（2）当选条件①：
由（1）知： ，则得： ，
又因为 ，所以 ，
所以当 时， 有最大值 ；
所以当 时， 有最小值 ；
当选条件③：
由（1）知： ，则得： ，
又因为 ，所以 ，
所以当 时， 有最大值 ；
所以当 时， 有最小 ；
18．（13分）【答案】(1) (2) (3)79，84，90或79，85，90
【分析】（1）根据折线图求出样本中体育成绩大于或等于70分的学生数，从而得到相应的比例，估计出
高一全年级中“体育良好”的学生人数；
（2）利用列举法求出古典概型的概率；
（3）先分析出 ，再列出方差 ，由二次函数的对称轴得到当 或85
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学科网（北京）股份有限公司时， 取得最小值.
【详解】（1）由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有 人，
所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为 人；
（2）成绩在 有2名学生，设为 ； 有2名学生，设为 ，
故抽取2名学生的情况有： ，共6种情况，
其中恰有1人体育成绩在 的情况有： ，共4种情况，
故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在 的概率为 ；
（3）甲､乙､丙三人的体育成绩分别为 ，且分别在 ， 三组中，其中 ，
要想数据 的方差 最小，则 三个数据的差的绝对值越小越好，故 ，
则甲､乙､丙三人的体育成绩平均值为 ，
故方差
，
对称轴为 ，
故当 或85时， 取得最小值，
的值为79，84，90或79，85，90.
19．（15分）【答案】(1) ; (2) 或 .
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定 ，由 ，得 ，再利用
，可解得 ， ；
（Ⅱ）先化简条件： ，即M再OA中垂线上， .设直线 方程为
，点 可求；根据 ，求点H，由点斜式得到直线MH方程，联立直线 和直线MH方
程，求得 表达式，列等量关系解出直线斜率.
【详解】解：（Ⅰ）设 ，由 ，即 ，
可得 ，又 ，
所以 ，因此 ，所以椭圆的方程为 .
（Ⅱ）设 ，直线的斜率为 ，则直线 的方程为 ，
由方程组 消去 ，整理得 ，
解得 或 ，
由题意得 ，从而 ，
设 ，由（1）知 ， 有 ， ，
由 ，得 ，
所以 ，解得 ，
因此直线 的方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，由方程组 消去 ，得 ，
在 中， ，
即 ，化简得 ，即 ，
解得 或 ，
所以直线 的斜率为 或 .
20．（15分）【答案】（1） （2）
【分析】（1）对 进行求导，得 ，利用导数的几何意义求出切线斜率，最后
根据点斜式求出切线方程；
（2）根据题意，化简得 ，求出导函数 ，通过 有两个不同的正根，即
有两个不同的正根，列出不等式组，由恒成立条件转化为 恒
成立，构造新函数 ，利用导函数研究函数单调性和最值，进而可求得 的取值范围.
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，
所以切线斜率 ，又 ，
故曲线 在点 处的切线方程为：
，即 .
（2）因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，
则 有两个不同的正根，即 有两个不同的正根，
则 ，
不等式 恒成立等价于
恒成立，
又
，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
所以实数 的取值范围为： .
21．（15分）【答案】(1) 不是坠点数列， 是“3坠点数列”，理由见解析 (2) (3)
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）列出数列的前几项，再利用作差法判断数列的单调性，根据所给定义一一判断即可；
（2）首先可得 ，再依题意 中只存在 ，即可得到当且仅当 时， ，其
余均为 ，从而求出 ，再利用数列极限的概念计算可得；
（3）首先判断 ，利用反证法证明，即可得到 ，从而得解．
【详解】（1）解：对于 ，由于 ， ， ， ， ，
则存在 ， ，不满足定义，故 不是坠点数列．
对于 ，容易发现 ， ， ， ，
即在前4项中只有 ．而对于 起，
由于 ，即 对于 是恒成立的．
故 是“3坠点数列”．
（2）解：由绝对值定义， ．
又因为 是“5坠点数列”，则 中只存在 且 ．
则当且仅当 时， ，其余均为
故可分类列举：
当 时， ， ， ， ，
当 时， ， ， ，
分组求和知：
当 时， ，则 ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司则当 时， ，
则 ，
（3）解：结论： ，理由如下：
经过分析研究发现： ，
下利用反证法予以证明．不妨设 ，首先研究 ．
由于 为“ 坠点数列”，则只存在 ，即 ，
而对于 且 ，则有 ，即 ，
故在 中有且仅有一项 ，其余项均大于0，
又因为 为“ 坠点数列”，则有且仅有 ，
同时， ， ，
这与 是矛盾的，则 且 ，
则 ，
故 ．
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学科网（北京）股份有限公司
