文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用）
数学·参考答案
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D A C C C C D D A
二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，
全部答对的给5分。）
10、 11、 12、 13、 14、 ． 15、 ．
三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）
16．（15分）
【详解】（1）由 及正弦定理，得 ，.......................2
分
因为 ，
所以 ，且 ........................4分
又 ，可得 ........................6分
（2）因为 ，
由余弦定理，得 ，......................8分
即 ，解得 (负值舍去)........................9分
（3）由（1）及 ， ， ，得 ，.......................10分
从而 ........................11分由（1）得 ........................13分
， ，
所以
........................15分17．（15分）
【详解】（1）证明：如图，设 与 交于点 ，连接 ，
∵四边形 为矩形，
∴ 为 的中点，又因为 为 的中点，........................2分
∴ ，而 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；........................4分
（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面
，
所以 平面 ，........................6分
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，........................7分
所以 ， ， 两两垂直，
所以如图，分别以 为坐标原点，以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
根据题意，则有 ， ， ， ，
所以 ， ， ，........................8分
假设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，
设直线 与平面 所成角的平面角为 ，
则有 ．........................10分
（3）解：假设存在点 ，满足题意，且此时 ，即得 ，则有 ， ，........................12分
假设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，
又因为平面 的一个法向量为 ，.......................13分
根据题意，则有 ，
解之可得， ，.......................14分
即得 ，即点 为线段 上靠近点 的一个三等分点，坐标为
．.......................15分
18．（15分）
【详解】（1）由题意可得： ，解得： ，所以椭圆 的方程为 ，则
椭圆的右焦点为 ，.......................2分
当直线 的斜率等于 时不符合题意；
设直线 斜率不为0时，直线方程为 ， ， ，
由 可得： ，
则 ， ， ，.......................4分所以 ，.......................6分
所以四边形 的面积为
，设 ，则 ，所以 ，
因为 ，当且仅当 即 ， 时， 最小值为 ，.......................8分
所以 ，因为 ，可得
所以四边形 （ 为坐标原点）的面积的最大值为 ；......................9分
（2）因为 ， ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为： ........................10分
令 可得： ........................12分
由（1）知： ， ，则
所以 ，则直线 过定点 ........................15分
19．（15分）
【详解】（1）解：由 及 可知，数列 是以 为公比的等比数列，
所以， ，故 ，........................2分
设等差数列 的公差为 ，由 ，可得 ， ，
所以， .........................4分（2）解： ，设数列 的前 项和为 ，
，
记 ， ，
所以， ，........................6分
，①，②
① ②可得 ........................8分
，所以， ，
因此， .........................9分
（3）证明：先证明柯西不等式 ，
构造函数 ，
显然 且 ，
所以， ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立，........................11分
本题中，由（1）可得 ，
所以， ，且 ，........................12分
所以， ，
，........................13分
所以， ，........................14分但 不恒为常数，所以等号不成立，
则 .........................15分20．（15分）
【详解】（1） ，则 ，........................1分
当 即 时， ， 在 上单调递减，........................2分
当 时即 时， ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ；........................4分
此时 在 和 上单调递减，在 上单调递
增；........................5分
（2）（ⅰ） ，据题意有 ，又 ，
则 且 ，........................7分
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．........................8分
（ii）要在点 处的切线重合，首先需要在点 处的切线的斜率相等，
而 时， ，则必有 ，即 ， ，
处的切线方程是： ，........................9分
处的切线方程是： ，即
，........................10分
据题意则 ， ，........................11分
设 ， ， ，
令 ， 在 上恒成立,则 在 上单调递增 ,
则在 上， 在 上单调递增，
则 ,........................13分
令 ，则 在 上单调递增,所以 ，故 在 恒成立
即当 时 的值域是 ，
故 ，即为所求．........................15分公众号：高中试卷君
