数学01-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）（答案及评分标准）_2024届新高三开学摸底考试卷_数学-2024届新高三开学摸底考试卷_数学01-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）

2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）01 数学·参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D A D C B D BC BC BD BCD 13．36 14． 15． 16． 17．(1) 6 2 (2) . sinC sin A2sinBcosA  【详解】（1）由正弦定理得sinA 2sin A ，所以 sinA2sinBcosA2sinC 2sin(AB)2sin AcosB2cosAsinB ， sin A2sin AcosB 0 Aπ sinA0 得 ，因为 ，所以 ， 1 cosB 得 2，又0 Bπ， π B 所以 3． 1 S  acsinB2 3 （2）由 △ABC 2 ，得ac8，a2 c2 b2 1 cosB   由余弦定理 2ac 2，得a2 c2 8ac， ac2 3ac832 得 ， ac4 2 得 ，ABC 6 2 所以 的周长为 ． 18．(1) 略 (2) 【解析】(1) , 为 的中点, , , , 四边形 为平行四边形, . , . , , . 又 平面 平面 ,平面 平面 , 平面 , .又 , 平面 . 平面 , 平面 平面 . (2)由(1)可知 平面 .如图,以 为原点,分别以 , , 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系, 则 , , , , , , , , , . 设 ,则 ,且 ,得 , . 设平面 的法向量为 ,则 ,即 , 令 ,则 , ,平面 的一个法向量为 . 设平面 的法向量为 , 则 ,即 令 ,则 , , 平面 的一个法向量为 . 平面 与平面 所成的锐二面角的大小为 , , . . 即当 时,平面 与平面 所成的角大小为 19．【答案】(1)a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增 (2)见解析 【详解】(1)解 函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R，求导得f′(x)＝ex－a， 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>ln a，令f′(x)<0，解得x0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． (2)证明 当a＝1时，g(x)＝， 当x>0时，>1⇔ex>1＋x＋⇔<1， 令F(x)＝－1，x>0，F′(x)＝<0恒成立，则F(x)在(0，＋∞)上单调递减，F(x)0时，g(x)>1，即原不等式得证． 20．【答案】(1) (2) 【详解】（1））因为 ，所以 ， 所以 . 所以 . 则数列 的通项公式为 . （2）因为数列 是以首项为 ，公比为4等比数列. 所以 . 因为数列 是等差数列，所以 . 化简得 . 因为 ，所以 ，即 . 所以 . 因为 ，所以数列 是以 为首项．4为公比的等比数列 所以 .所以 . 则数列 的前n项和 为： . 21．【答案】(1)分布列见解析，(2)（i） ；（ii）证明见解析，比赛局数越多，对实力较强者越有利 【详解】（1） ，即采用3局2胜制， 所有可能取值为 ， ， 的分布列如下表： 2 3 所以 的数学期望为 . （2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用 表示3局比赛中甲胜的局数，则 ，甲最终 获胜的概率为： ， 采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用 表示5局比赛中甲胜的局数，则 ，甲最终获胜的 概率为： ， ， 得 . （ii）由（i）知 . 局比赛中恰好甲赢了 局的概率为 ， 局比赛中恰好甲赢了 局的概率为 ， 则 局比赛中甲至少赢 局的概率为 . 考虑 局比赛的前 局： 如果这 局比赛甲至少赢 局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为 ， 如果这 局比赛甲赢了 局，则需要后两场至少赢一局，其概率为 ， 如果这 局比赛甲赢了 局，则需要后两场都赢，其概率为 ，因此 局里甲最终获胜的概率为： ，因此 ，即数列 单调递增. 该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利. 22．【答案】(1) (2) 【详解】（1） 因为线段 的垂直平分线交半径 与点 ， 所以 ， 所以 是定值， ， 所以 点轨迹为椭圆，其长轴为4，焦距为2， 所以 的轨迹 的方程 . （2）解法一 设 .由已知得：直线 的方程为 ； 设 ， .由已知得：直线 的方程为 又因为AC、BD斜率之积为 ，所以 ， 由 得 ，即 ，所以 ，. 故 同理联立BD与椭圆方程，可得 ， 所以 ， 故 设 分别为点 到直线 的距离， 则 . 又 在直线 在异侧，则 所以 ， 令 易知 ，所以 ， 所以 解法二 设 ，所以 ，设圆心为 ， 因为直线 的斜率之积为 ， 所以 ， 设直线 方程 ，点 到 的距离为 ， 所以 ， 同理 ， 设四边形 面积为 ， 则 ， 令 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 设四边形 面积为S，因为 ， 所以 .公众号：高中试卷君