文档文本内容
专题 14 指数、对数、幂函数、
函数图象、函数零点及函数模型的应用
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 指数函数 2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·北京卷
及其应用 2017·全国、2016·北京、2015·江苏、
（10年5考） 2015·山东卷、2015·福建卷
2024·全国甲卷、2023·北京卷、2022·天津卷
考点2 对数运算 2022·浙江卷、2022·全国乙卷、2021·天津卷
及指对互化 2020·全国卷、2018·全国卷、2016·浙江卷
（10年8考） 2015·浙江卷、2015·浙江卷、2015·四川卷
2015·上海卷、2015·上海卷、2015·安徽卷
1. 掌握指数对数幂函数的图象
考点3 对数函数 2024·北京卷、2024·全国新Ⅰ卷、2020·全国新Ⅱ
与性质，会指数对数的相关运
及其应用 卷2020·全国卷、2020·北京卷、2015·重庆卷
算，会指对幂函数值的大小比
（10年3考） 2015·四川卷、2015·湖北卷、2015·北京卷
较，都是高考命题的方向
考点4 幂函数
2024·天津卷、2023·北京卷、2020·江苏卷 2. 掌握函数图象的判断方法
（10年3考）
3. 掌握函数零点的定义，会用
2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·天津卷
零点存在定理判断零点所在区
2022·天津卷、2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷
间，会求解零点相关问题，也
考点5 指对幂函 2021·天津卷、2021·全国新Ⅱ卷、2020·天津卷
是高考命题的高频考点
数值大小比较 2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷
4. 掌握函数模型及其应用
（10年10考） 2019·天津卷、2019·天津卷、2018·天津卷
2017·全国卷、2016·全国卷、2016·全国卷
2015·重庆卷、2015·陕西卷、2015·山东卷
2024·全国甲卷、2023·天津卷、2022·全国乙卷
2022·全国甲卷、2022·天津卷、2021·浙江卷
考点6 函数图象
2020·天津卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷
（10年8考）
2018·全国卷、2018·浙江卷、2018·全国卷
2017·全国卷、2017·全国卷、2015·安徽卷2015·浙江卷
2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国
新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、2024·天津卷、2023·天
津卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·天津卷、2022·北
京卷
2021·北京卷、2021·天津卷、2020·天津卷
考点7 函数零点 2019·全国卷、2019·浙江卷、2019·江苏卷
及其应用 2018·全国卷、2018·浙江卷、2018·天津卷
（10年10考） 2018·全国卷、2017·山东卷、2017·江苏卷
2016·江苏卷、2016·天津卷、2016·天津卷
2016·天津卷、2016·天津卷、2015·天津卷
2015·天津卷、2015·安徽卷、2015·江苏卷
2015·湖北卷、2015·湖北卷、2015·安徽卷
2015·湖南卷、2015·湖南卷
考点8 函数模型 2024·北京卷、2022·北京卷、2021·全国甲卷
（10年5考） 2019·北京卷、2017·北京卷
考点01 指数函数及其应用
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·北京·高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．
C． D．
4．（2017·全国·高考真题）设函数 则满足 的x的取值范围是
.5．（2016·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上为减函数的是
A． B． C． D．
6．（2015·江苏·高考真题）不等式 的解集为 .
7．（2015·山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则
.
8．（2015·福建·高考真题）若函数 满足 ，且 在 单调递增，
则实数 的最小值等于 ．
考点02 对数运算及指对互化
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知 且 ，则 ．
2．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ．
3．（2022·天津·高考真题）化简 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
4．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
5．（2022·全国乙卷·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
6．（2021·天津·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
7．（2020·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2018·全国·高考真题）已知函数 ，若 ，则 ．
9．（2016·浙江·高考真题）已知a＞b＞1.若logb+log a= ，ab=ba，则a= ，b= .
a b
10．（2015·浙江·高考真题）计算： ， ．
11．（2015·浙江·高考真题）若 ，则 ．12．（2015·四川·高考真题）lg0.01＋log 16＝ .
2
13．（2015·上海·高考真题）方程 的解为 .
14．（2015·上海·高考真题）方程 的解为 ．
15．（2015·安徽·高考真题） .
考点03 对数函数及其应用
1．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·全国·高考真题）设函数 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
5．（2020·北京·高考真题）函数 的定义域是 ．
6．（2015·重庆·高考真题）函数 的定义域是
A．
B．
C．
D．
7．（2015·四川·高考真题）设 ， 都是不等于 的正数，则“ ”是“ ”的
A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2015·湖北·高考真题）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2015·北京·高考真题）如图，函数 的图象为折线 ，则不等式 的解集是
A． B．
C． D．
考点04 幂函数
1．（2024·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
考点05 指对幂函数值大小比较
1．（2024·天津·高考真题）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．3．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国甲卷·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·天津·高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
11．（2020·全国·高考真题）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·全国·高考真题）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2019·天津·高考真题）已知 ， ， ，则 的大小关系为
A． B．
C． D．
14．（2019·天津·高考真题）已知 ， ， ，则 的大小关系为
A． B．
C． D．15．（2018·天津·高考真题）已知 ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
16．（2017·全国·高考真题）设x、y、z为正数，且 ，则
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
17．（2016·全国·高考真题）已知 ， ， ，则
A． B．
C． D．
18．（2016·全国·高考真题）已知 ，则
A． B．
C． D．
19．（2015·重庆·高考真题）函数 的定义域是
A．
B．
C．
D．
20．（2015·陕西·高考真题）设 ，若 ， ， ，
则下列关系式中正确的是
A． B．
C． D．
21．（2015·山东·高考真题）设 则 的大小关系是
A． B． C． D．
考点06 函数图象
1．（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
2．（2023·天津·高考真题）已知函数 的部分图象如下图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
5．（2022·天津·高考真题）函数 的图像为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·浙江·高考真题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）A． B．
C． D．
7．（2020·天津·高考真题）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·浙江·高考真题）函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数 且 的图象可能是A． B．
C． D．
10．（2018·全国·高考真题）函数 的图像大致为
A． B．
C． D．
11．（2018·浙江·高考真题）函数y= 的图象可能是
A． B．C． D．
12．（2018·全国·高考真题）函数 的图像大致为 ( )
A． B．
C． D．
13．（2017·全国·高考真题）函数 的部分图像大致为
A． B．
C． D．
14．（2017·全国·高考真题）函数y＝1＋x＋ 的部分图象大致为（ ）A． B．
C． D．
15．（2015·安徽·高考真题）函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
16．（2015·浙江·高考真题）函数 （ 且 ）的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
考点07 函数零点及其应用
一、单选题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）当 时，曲线 与 的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）设函数 ， ，当 时，曲线
与 恰有一个交点，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数 和 ，下列说法中正确的
有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图象有相同的对称轴
4．（2021·天津·高考真题）设 ，函数 ，若 在区间 内恰
有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2020·天津·高考真题）已知函数 若函数 恰有4个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2019·全国·高考真题）函数 在 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2019·浙江·高考真题）已知 ，函数 ，若函数
恰有三个零点，则
A． B．
C． D．8．（2014·北京·高考真题）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是
A． B． C． D．
9．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．若g（x）存在2个零点，
则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
10．（2017·山东·高考真题）已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有
一个交点，则正实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
11．（2016·天津·高考真题）已知函数 ， .若 在区间
内没有零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
12．（2016·天津·高考真题）已知函数 （ ，且 ）在 上单调递减，
且关于x的方程 恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是
A． B．[ ， ] C．[ ， ] { } D．[ ， ） { }
13．（2016·天津·高考真题）已知函数 ， .若 在区间 内
没有零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
14．（2015·天津·高考真题）已知函数 ,函数 ,则函数
的零点的个数为
A．2 B．3 C．4 D．515．（2015·天津·高考真题）已知函数 ，函数 ，其中 ，若
函数 恰有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．（2015·安徽·高考真题）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是
A． B． C． D．
二、填空题
17．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线 与 在 上有两个不同的交点，则 的
取值范围为 ．
18．（2024·天津·高考真题）若函数 恰有一个零点，则 的取值范围为 ．
19．（2023·天津·高考真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则 的取值
范围为 ．
20．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则
的取值范围是 ．
21．（2022·天津·高考真题）设 ，对任意实数x，记 ．若 至少
有3个零点，则实数 的取值范围为 .
22．（2022·北京·高考真题）若函数 的一个零点为 ，则 ；
．
23．（2021·北京·高考真题）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；
②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
24．（2019·江苏·高考真题）设 是定义在 上的两个周期函数， 的周期为4， 的周期为
2，且 是奇函数.当 时， ， ，其中 .若在区间
上，关于 的方程 有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .25．（2018·全国·高考真题）函数 在 的零点个数为 ．
26．（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是
．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
27．（2018·天津·高考真题）已知 ，函数 若关于 的方程 恰有2
个互异的实数解，则 的取值范围是 .
28．（2017·江苏·高考真题）设 是定义在R 且周期为1的函数，在区间 上， 其
中集合 ，则方程 的解的个数是
29．（2016·江苏·高考真题）定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是
.
30．（2016·天津·高考真题）已知函数 在R上单调递减，且关
于x的方程 恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 .
31．（2015·江苏·高考真题）已知函数 ， ，则方程
实根的个数为
32．（2015·湖北·高考真题）函数 的零点个数为_________．
33．（2015·湖北·高考真题）函数 的零点个数为 ．
34．（2015·安徽·高考真题）在平面直角坐标系 中，若直线 与函数 的图像只有一
个交点，则 的值为 .
35．（2015·湖南·高考真题）已知 ，若存在实数 ，使函数 有两个零点，
则 的取值范围是 ．
36．（2015·湖南·高考真题）若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是_____.
考点08 函数模型1．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
3．（2021·全国甲卷·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用
五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足 ．已
知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
4．（2019·北京·高考真题）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满
足 ，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等
是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
5．（2017·北京·高考真题）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通
物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
