文档内容
2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）
文科数学
本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干
净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
1．已知集合 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 .故选C.
2．复数 在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】 ,因为复数z对应点在虚轴上,所以 ,解得 .故
选B.
3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季
度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的
是（ ）
A．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%
B．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%
C．经营净收入比转移净收入大约多659元
D．财产净收入约为173元
【答案】D
【解析】由题知,农村居民人均可支配收入为 ,工资性收入占农村居民人均可支配收入的
,财产净收入占农村居民人均可支配收入的百分比为 ,故 错、B错； 经营净收入与转移净收入差为 元,故 错误； 财产净收入为
元,故D正确.故选D.
4．平行四边形 中,点 在边 上, ,记 ,则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在 中, , ,所以
.故选D
5．记 为等差数列 的前n项和,已知 , ,则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设公差为 ,则 , ,
,所以 时, 取得最小值 ．故选A．
6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】4个选项函数定义域均为R,设该函数为 ,对于A,
,故 为奇函数,且 ,对于B,
故 为奇函数, ,对于C,,故 为偶函数,
对于D, 故 为奇函数, ,
由图知函数为奇函数,故排除C；由 ,排除A,由 ,排除D,故选B．
7.已知函数 ,则 的图象在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,则 ,所以 的图象在
处的切线方程为 ,即 .故选B.
8．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔
方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔
方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了 之后,表面积增加了（ ）
A．54 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图,转动了 后,此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积,显然小三角形为等腰直角
三角形,设直角边 ,则斜边为 ,则有 ,得到 ,由几何关系得：阴影部分的面积为
,所以增加的面积为 .故选C.
9．设 是椭圆 的上顶点, 是 上的一个动点．当 运动到下顶点时, 取得最
大值,则 的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B【解析】设 , ,因为 , ,所以
, ,由题意知当 时,
取得最大值,所以 ,可得 ,即 ,则 ．故选B．
10．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线
被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作 , ,点 ,点 ,且其
“欧拉线”与圆 相切.则圆 上的点到直线 的距离的最小值为
（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】点D为BC中点,在 中, ,所以 边上的高线、垂直平分线和中线合一,则
的“欧拉线”为 ,因为点 ,点 ,所以 ,因为直线 的斜率为 ,所以AD
斜率为 ,方程为 ,即 ,因为“欧拉线”与圆 相切
所以圆心 到“欧拉线”的距离为 ,圆心 到直线 的距离为
,所以圆 上的点到直线 的距离的最小值为 ,故选A.
11.已知直四棱柱 的底面为正方形, , 为 的中点,过 三点作平面 ,
则该四棱柱的外接球被平面 截得的截面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知直四棱柱 的外接球的半径 ,如图,取 的中点
,连接 ,易知四边形 为矩形,且平面 即为平面 ,分别取 的中点 ,连接
,则易得四边形 为正方形,由四棱柱的对称性可知,其外接球的球心 即为正方形 的
中心,取 的中点 ,连接 ,则 平面 , 平面 ,所以 平面 ,故
球心 到平面 的距离与 到平面 的距离相等,过点 作 ,垂足为 ,
易知 面 , 面 ,故 ,又 平面 ,所以 平面
,又 ,所以球心 到平面 的距离为 ,由球的性质知,截面圆的半径,所以截面圆的周长为 .故选D.12．已知函数 与 的定义域均为 , 为偶函数,且 , ,则下面
判断错误的是( )
A． 的图象关于点 中心对称
B． 与 均为周期为4的周期函数
C．
D．
【答案】C
【解析】因为 为偶函数,所以 ①,所以 的图象关于直线 轴对称,
因为 等价于 ②,又 ③,②+③得 ④,
即 ,即 ,所以 ,故 的周期为4,又
,所以 的周期也为4,故选项B正确,①代入④得 ,故 的图象
关于点 中心对称,且 ,故选项 正确,由 , 可得 ,且
,故 ,故 ,因为 与
值不确定,故选项 错误,因为 ,所以 ,
所以 ,故 ,
故 ,所以选项D正确,故选 .
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．若x,y满足约束条件 ,则 的最大值为________．
【答案】
【解析】如图,画出可行域, 表示斜率为 的一组平行线,当 时,首先画出初始目标函数 ,当 平移至点 时,z取得最大值,
联立 ,得 , ,即 ,即 .
14．已知 是公比为 )的等比数列,且 成等差数列,则 __________．
【答案】1
【解析】在等比数列 中, 成等差数列,则 ,即 ,而 ,整理得
,因为 ,故解得 .
15．已知 ,若在 上恰有两个不相等的实数 、 满足 ,则实数 的
取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为 ,所以 ,因为在 上恰有两个不相等的实数 、 满足 ,
且 ,所以,函数 在 上恰有两个最大值点,所以, ,解得 ,
因此,实数 的取值范围是 .
16．已知抛物线 的焦点为F,点 在抛物线上,且满足 ,设弦 的中点M到y轴的距离为
d,则 的最小值为__________．
【答案】1
【解析】由抛物线 可得准线方程为 ,设 ,由余弦定理可得
,
由抛物线定义可得P到准线的距离等于 ,Q到准线的距离等于 ,
M为 的中点,由梯形的中位线定理可得M到准线 的距离为 ,则弦 的中点M到y轴的距离 ,故 ,
又 ,则 ,当且仅当 时,等号成立,
所以 的最小值为1.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必
须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（12分）．如图,在四棱锥 中,底面ABCD是边长为2的菱形, ,AC与BD交于点O,
底面ABCD, ,点E,F分别是棱PA,PB的中点,连接OE,OF,EF．
(1)求证：平面 平面PCD；
(2)求三棱锥 的体积．
【解析】（1）因为底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O
所以O为AC中点,
点E是棱PA的中点,F是棱PB的中点,
所以OE为三角形 的中位线,OF为三角形 的中位线,
所以 , ,
平面 , 平面 , 平面 ,
平面 , 平面 , 平面 ,
而 , 平面 , 平面 ,平面 平面PCD.（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形, ,
所以 为等边三角形,
所以 ,
因为 底面ABCD,
底面ABCD, 底面ABCD,
所以 , ,
所以 和 均为直角三角形,
所以 , ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
设点 到平面 的距离为 ,
根据体积相等法可知 ,
所以 ,
所以 .
,
故三棱锥 的体积为 .
18.（12分）为了检查工厂生产的某产品的质量指标,随机抽取了部分产品进行检测,所得数据统计如下图所
示．
(1)求 的值以及这批产品质量指标的平均值；
(2)若按照分层的方法从质量指标值在 的产品中随机抽取7件,再从这7件中随机抽取2件,求至少有一件的指标值在 的概率；(3)为了调查 两个机器与其生产的产品质量是否具有相关性,以便提高产品的生产效率,质检人员选取了
部分被抽查的产品进行了统计,所得数据如下表所示,判断是否有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质
量具有相关性．
机器生产 机器生产
优质品 200 80
合格品 120 80
附：
0.050 0.010 0.001
3.811 6.635 10.828
．
【解析】（1）由题图可知, ,
解得 ,
质量指标的平均值 ．
（2）依题意,质量指标值在 的有4件,记为1、2、3、4,质量指标值在 的有3件,记为
,
则随机抽取2件,所有的情况为 ,
,共21件,
其中满足条件的为 ,
,共15件,
故所求概率 ．
（3）完善表格如下：
A机器生产 B机器生产 总计
优质品 200 80 280
合格品 120 80 200
总计 320 160 480
在本次试验中, 的观测值 ,故没有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性．
19.（12分）在 中, ,点 在边 上, 且 , .
(1)求 ；
(2)求 的面积.
【解析】（1） 由题意知, .
设 ,所以 .
在 中, ,
所以 ,从而 .
（2）设 ,
在 中, ,
在 中, ,
所以 .
在 中,由 ,得 ,
所以 ,
从而 的面积为 .
20.（12分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 , ,A是 的左顶点, 的离心率为2．
设过 的直线 交 的右支于 、 两点,其中 在第一象限．(1)求 的标准方程；
(2)若直线 、 分别交直线 于 、 两点,证明： 为定值；
(3)是否存在常数 ,使得 恒成立？若存在,求出 的值；否则,说明理由．
【解析】（1）由题可得 ,故可得 ,则 ,
故 的标准方程为 .
（2）由（1）中所求可得点A, 的坐标分别为 ,
又双曲线渐近线为 ,显然直线 的斜率不为零,
故设其方程为 , ,
联立双曲线方程 可得： ,
设点 的坐标分别为 ,
则 ,
,
；
又直线 方程为： ,令 ,则 ,
故点 的坐标为 ；
直线 方程为： ,令 ,则 ,
故点 的坐标为 ；则故 为定值 .
（3）当直线 斜率不存在时,
对曲线 ,令 ,解得 ,
故点 的坐标为 ,此时 ,
在三角形 中, ,故可得 ,
则存在常数 ,使得 成立；
当直线 斜率存在时,
不妨设点 的坐标为 , ,直线 的倾斜角为 ,直线 的倾斜角为 ,
则 , ,
假设存在常数 ,使得 成立,即 ,
则一定有 ,也即 ；
又 ； ；
又点 的坐标满足 ,则 ,
故
；
故假设成立,存在实数常数 ,使得 成立；
综上所述,存在常数 ,使得 恒成立.
21.（12分）设函数 .
(1)从下面两个条件中选择一个,求实数 的取值范围；
①当 时, ；② 在 上单调递增.(2)当 时,证明：函数 有两个极值点 ,且 随着 的增大而增大.
【解析】（1）令 ,则 ,所以 ,则 ,
令 ,则 ,
选①：当 时,因为 时, ,所以 在 上单调递增,
又 ,所以当 时, ,说明 在 上单调递增,
所以 ,符合题意；
当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递减,
又 ,所以当 时, ,说明 在 上单调递减,
所以当 时, ,此时不符合题意；
综上,实数 的取值范围 .
选②： 在 上单调递增,所以 在 上恒成立,
当 时, ,所以 在 上递增,
又 ,所以当 时, ,所以 在 上单调递减,不符合题意；
当 时,当 时, ,所以 在 上单调递减,
当 时, ,所以 在 上单调递增,
从而 ,由 在 上恒成立,得 ,
令 ,说明 在 单调递增,在 单调递减,
所以 ,当且仅当 时取得等号,故 .
综上,实数 的取值范围 .
（2）当 时 ,当 时 , 在 上单调递减,又 ,
当 时, ,说明 在 上单调递增,
当 时, ,说明 在 上单调递减,
所以 为极大值点.
由（1）有 ,则 ,
所以当 时,有 ,
所以当 时, ,所以 使得 .
当 时, ,当 时, ,所以 为极小值点,
综上,函数 有两个极值点 ；
其中 满足 ,所以 ,
设 ,则 ,
由（1）知 ,所以 单调递增,
所以 随着 的增大而增大,又 ,
所以 ,故 随着 的增大而增大.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中,曲线 的方程为 ．曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 和曲线 的极坐标方程；
(2)若射线 （ , ）交曲线 于点P,直线 与曲线 和曲线 分别交于点
M、N,且点P、M、N均异于点O,求 面积的最大值．
【解析】（1）把 , 代入 ,
得曲线 的极坐标方程为 ,即 ．
将 中的参数消去,得曲线 的普通方程为 ,
把 , 代入,得曲线 的极坐标方程为 ,即 ．
（2）由题得 , , ,
,
因为 ,所以
,
其中 , ,
当 ,即 时, 的面积取得最大值 ．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数 的最小值为m, 的最小值为n．实数a,b,c满足 , ,, ．
(1)求m和n；
(2)证明： ．
【解析】（1）函数 的最小值为 ,此时 ,
当 时, ,
当 时, ,
当 时, ,
函数 ,
函数在 上单调递减,在 上单调递增,
当 时, ,
所以函数 的最小值为 ,
故 .
（2）由（1）知 , ,
因为 , ,
所以 , , , , ,
又因为 ,
所以 ,又 ,
所以 ,所以 ．所以 ．公众号：高中试卷君
