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银川一中2024届高三第二次月考数学(理科)参考答案 （2）记日销售利润为 ，根据一次函数与二次函数的单调性分析 的最大值，判断与4万
元的大小关系判断即可
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
【详解】（1）若选择模型（1），将 以及 代入可得
答案 C A D C A A B D C D C D
二、填空题
13．1 14. 15. 40 16.
解得 ，即 ，经验证，符合题意；
三、解答题
17.【答案】(1) ，单调递增区间为 .(2) .
若选择模型（2），将 以及 代入可得 ，
(1)整理函数的解析式可得 ，据此可得函数的最小正周期 ，单
解得 ，即 ，
调递增区间为 .
(2)由题意可得 ，结合(1)中的函数解析式可知 的值域为 .而 当 时， ，故此函数模型不符题意，
，故 . 因此选择函数模型（1），其解析式为 （ 且 为整数）
试题解析：
（2）记日销售利润为 ，
(1)
当 且 为整数时， ，
1≤t≤15 t
对称轴 ，故当 时，利润 取得最大值，且最大值为392（百元）
当 且 为整数时， ，
，
16≤t≤30
当16≤t≤30时，利润 单调递减，
最小正周期 ，
故当 时取得最大值，且最大值为 （百元）
所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.
函数的单调递增区间满足： ，
19.【分析】（1）求出函数 的定义域及导数，再分类讨论求解单调区间作答.
（2）由（1）求出函数 在 的最大值，结合题意构造函数，利用导数推理作答.
解得 的单调递增区间为 .
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
(2) ，所以 ，
求导得 ， ，
当 时，恒有 ，函数 在 上单调递减；
，
当 时，由 ，得 或 ， 单调递减，由 ，得
所以 的值域为 .
， 单调递增；
而 ，所以 ，即 .
当 时，由 ，得 或 ， 单调递减，由 ，得
18.【答案】(1)选择函数模型①，其解析式为 （ 且 为整数） ， 单调递增；
(2)这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析 所以当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
【分析】（1）将将 以及 分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再 当 时，函数 在 上单调递减；
代入计算 判断是否满足即可； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）知，当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
令 ， ，则 ，
则当 时， 取得最大值 ，
于是当 时， ，使得 成立，当且仅当 时， 当 时， ，所以 ，
成立，
即 在 上单调递减，
即当 时， 成立，令函数 ，
求导得 ，
又 ， ，
令 ，求导得 ，
于是函数 单调递增，即 在 上单调递增， ， ，
因此函数 在 上单调递增， ，即当 时， 成
立，所以当 时， ，使得 .
则存在 ，使得 ，即存在 ，使得 ，
20.【答案】(1) (2)
所以当 时， ，当 时， ，
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合余弦定理求得正确答案.
（2）利用三角形的面积公式列方程，结合基本不等式求得 的最小值.
所以 为 的唯一极大值点，
【详解】（1）依题意， ，
故 在区间 上存在唯一极大值点 ；
由正弦定理得 ，
（2）由（1）知， ， ，
，所以 ，
①当 时，由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是钝角，所以 .
又 ， ，
（2） ，
，所以 ，
，
即 ，
所以存在 ，使得 ，
所以 ，
所以当 ， 时， ， 单调递减，
当且仅当 时等号成立. 当 时， ， 单调递增，
21.【答案】(1)证明见解析 (2)2 又 ， ，
【详解】（1）由题意知，函数 的定义域为 ，且
所以当 时， 有唯一的零点 ；
，
②当 时， ， 单调递减，
令 ， ，所以 ，
， 又 ，所以存在 ，使得 ；
学科网（北京）股份有限公司③当 时， ，所以 ，则 在 没有零点； （2）因为 ，
综上所述， 有且仅有2个零点.
因为 ，当且仅当 ，即 取得等号，
同理可得 ，当且仅当 取得等号，
同理可得 ，当且仅当 取得等号，...................7分
上面三式相加可得 ，即 ，
当且仅当 ， ， 且 ，即 时，等号成
22.【详解】（1）由 知： ， ，...................2分 立，
因为 ，所以 ，
所以 ....................10分
点 的极角为 ， 点 的极坐标为 ....................5分
（2）
由题意知： ， ， ，
，.................7分
， ， ， ..........10分
23【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，...................2分
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 ，即 ，故 ....................5分
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