名校联考联合体 2026 届高三年级 1 月联考
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时
将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.全集U={-3,-2,-1,0},A={-1,0},则C A=
U
A.∅ B.{-2} C.{-3} D.{-3,-2}
2.复数z的共轭复数为z，若 z=1−2i,则z=
A.1-2i B. 1+2i C.2-i D.2+i
3.平面向量a=(3,-1),b=(x,1),且a-b=(1,-2),则x=
A.-1 B.2 C. √5 D.3
4.函数 f(x)=eˣ,若. f(x2+2)<f(3),则x的取值范围为
A.(-2,2) B.(-2,-1)
C.(-1,1) D.(1,2)
5.正四棱锥 P-ABCD 的侧棱长为2，侧棱 PA 与底面ABCD 所成角为45°，则该四棱锥的体积
为
2√2 4√2
A. B.2 √2 C. D.4 √2
3 3
π π
6.函数 f(x)=cos(ωx− ) (ω⟩0)的图象关于直线 x= 对称，则ω的最小值为
6 3
1 3
A. B.1 C. D.2
2 2
x2 y2
7.椭圆 C: + =1的左、右顶点为 A₁，A₂，椭圆 C的右焦点为 F，点 P 是椭圆 C上异于
a2 b2
1
A₁，A₂的一动点，过F作直线A₁P 的垂线，垂足为 M，若椭圆C的离心率为 ，三角形
2
A₁A₂M的面积最大值为6，则椭圆C的方程为x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
2√2 √6 4 3 8 6 16 12
8. 函 数 y=f(x)(x∈R) 满 足 : 当 x∈[-1,1] 时 , 且 f(x+1)=f(1-
x),f(x+2)=f(x-2),若函数. g(x)=f(x)−∣log (x+1)∣,(a⟩0且a≠1)共有6个零点，则实数a
a
的取值范围是
A.(√ 310,√ 314] B.[√ 310,√ 314)
C.(√ 310,√ 314)∪ (√
3196
, √
3100)
D.(√ 310,√ 314)∪ (√
314
, √
310)
14 10 14 10
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.等差数列{a }的前n项和为 S ,a =12,a +a =a +10,则
n n 1 3 6 6
A.a =10
2
B.公差d=-2
Ca =−8
11
D. Sn的最大值为S.7 或 S₈
10.抛物线 C:y2=2px的焦点为F，准线为l.若点 P(1，2)在抛物线C上，过F点的直线
l'交抛物线C于A，B两点，则
A p=2
B.|PF|=2
C.圆 x2+y2=5与准线l交于M，N两点，则三角形FMN的面积为8
D.以FA为直径的圆与y轴只有一个公共点
11.如图,在正三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中,AB=1,AA₁=2,E,F 分别在侧面. AA
1
B
1
B和侧面
AA₁C₁C 内运动(含边界),点 A₁在平面AEF上的射影 H 在 △AEF内(含边界)，直线
AA 与平面AEF所成的角为30°.则
1
√3
A.正三棱柱 ABC−A B C 的体积为
1 1 1 2
8√3
B.正三棱柱. ABC−A
1
B
1
C
1
的外接球的体积为
27
π
C. H点到棱AA₁的距离为 √3
D.若直线 BH 与平面ABC 所成的角为θ，则tanθ的最大值为 3(2+√3)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数 f(x)=3x+lnx在点P(x₀,y₀)处的切线斜率为4,则. x
0
=____.
13.从0，1，2，…，9 这10个数字中选出3个不同的数字组成三位数，其中小于 329
的共有 个.
14.数列 {a }满足 a =2n−1,数列{b }满足 b =3,b =2b +1.将 {a }中的项按从小到大的顺序插
n n n 1 n+1 n n
入{bₙ}中，且在任意的 b ,b 之间插入 2k-1 项，从而构成一个新数列 {c }:b ,a ,b ,
k k+1 n 1 1 2
a ,a ,a ,b ,⋯,设 {c }的前n项和为 T ,则 T =____(请用数字作答).
2 3 4 3 n n 100
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
1
已知 △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, △ABC的面积为s, S=( b2 −c2)sinA.
2
(1)证明:b=2c;
(2)若 a=√7c,求内角 A 的大小.
16.(本小题满分15分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,△PAD 为等腰三角形,PD⊥底面
ABCD,AB∥CD,AD⊥DC,AB=2,CD=4,PC=2 √5,M为棱PC的中点.
(1)证明:BM∥平面PAD;
(2)求平面 PDM和平面DMB 所成夹角的正弦值.17.(本小题满分15分)
函数 f(x)=a(x+1)−lnx.
(1)若a=e,求 f(x)的极小值;
(2)当a=-1时,证明: xex+f(x)≥0.
18.(本小题满分17分)
某人工智能研发公司为了开拓新产品市场，从最新研发的经典 A 型和卓越 A+型两款机器人中
(卓越A⁺型是A型的优化版)，随机各抽取30台进行越野驾驶性能对比测试，测试在同等环境
中进行，评定结果分为优秀和良好两种.得到了如下数据：经典A型优秀为7台，卓越 A+型优
秀为20台.
(1)完成下面2×2列联表，并根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析两款机器人的测试结果是否
与越野驾驶性能优化有关.
测试结果
款类 总计
优秀 良好
A⁺型 20 30
A型 7 30
总计
(2)该公司为了进一步测试卓越. A+型机器人的汉语智能性能，组织机器人队与人类队(母语为汉
语)进行诗词抢答赛，每局比赛只有胜和负两种情况(无平局)，每局人类战胜机器人的概率
1
为 ,胜者记2分，负者记1分.每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响.
3
(i)求三局比赛中，人类队累计得分X 的分布列和数学期望；
(ii)若采用“比赛赛满(2n-1)局，胜方至少获得n局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为A(n)；
若采用“比赛赛满(2n+1)局，胜方至少获得(n+1)局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为A(n+1),比较A(n)与A(n+1)的大小,并说明其统计意义.
参考公式： x2=
n(ad−bc) 2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.1 0.05 0.01 0.001
x 2.706 3.841 6.635 10.828
a
19.(本小题满分17分)
x2 y2
双曲线 C: − =1(a⟩0,b>0)的一条渐近线为 l :y=x,点 B(5,4)在双曲线C上.
a2 b2 1
(1)求双曲线C的方程；
(2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线
为双曲线的切线，该公共点为切线的切点.设双曲线C在切点N 处的切线为l，求切线l与双
曲线的两渐近线所围成的三角形的面积；
(3)设点 B 关于 l₁ 的对称点为 R，点 B关于原点的对称点为 B',双曲线上的动点 M与
B',B不重合,且动直线 MB与直线OR 相交于点 P，动直线 MB'与直线OR 相交于点
P'.求证：存在实数λ，使得 ∣OR∣2=λ∣OP∣⋅∣ OP'∣,并求出实数λ的值.
