文档内容
2024 年秋季普通高中 11 月份高三年级阶段性联考
数学
本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将答题卡上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知曲线 在点 处的切线在 轴上的截距为 ，则 的值为（ ）
A.1 B.0 C. D.
5.暑假期间某校5名学生计划去黄冈旅游，体验黄冈的风俗与文化.现有黄梅东山问梅村､罗田天堂寨､黄州
的东坡赤壁三个景区可供选择若每名学生只去一个景区，且恰有2人前往黄梅东山问梅村，则不同的游览
方案种数为（ ）
A.40 B.90 C.80 D.1606.已知函数 的最小正周期为 ，将 的图象向右平移 个单位后得
到函数 的图象，若 为偶函数，则正实数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点
表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中
间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，
爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到
下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉
板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 是定义在 上的函数， 为 的导函数，若方程 在 上至少有3个
不同的解，则称 为 上的“波浪函数”.已知定义在 上的函数 为
“波浪函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9.下列结论中正确的有（ ）
A.已知 ，若 ，则 ；
B.某学生8次考试的数学成绩分别为：101､108､109､120､132､135､141､141，则这8次数学成绩的第75百
分位数为135；C.已知 的平均值为8，则 的平均值为7；
D.已知 为两个随机事件，若 ，则 .
10.已知正实数 满足 ，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最小值是3 D. 的最小值为
11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数 （ 表示不超过
的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，令 ，
则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数 ，则 __________.
13.已知 的角 的对边分别为 ，且 ，若 ，则 __________.
14.已知函数 在区间 上存在零点，则 的取值范围为
__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知 ，函数 .
（1）求 的单调递减区间；（2）在 中，若 ，求 和 长.
16.（本题满分15分）
已知 是公差不为0的等差数列， ，且 成等比数列，数列 满足： ，
且 .
（1）求 和 的通项公式；
（2）若 为数列 的前 项和，求 .
17.（本题满分15分）
东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调査300名学生.设
表示事件“学生喜欢去甲食堂”， 表示事件“调査的学生是男生”.若
.
调查的是男生 调查的是女生 合计
喜欢去甲食堂
喜欢去乙食堂
合计
（1）完成上列 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别
是否有关？
（2）为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性別分层抽样的方法选
15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，三
等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为 ，写出 的分布列，并计
算 .
附
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.82818.（本题满分17分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明： .
19.（本题满分17分）
马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅
与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小
明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有 个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的
物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过
次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量 ，且 .
（1）求 的值；
（2）求 ；
（3）证明： 为定值.2024 年秋季普通高中 11 月份阶段性联考高三数学试卷
参考答案
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.D
8.【解析】，
显然 不满足上式，所以 ，
令 ，则 ，
在 ，
且 ，
画出的图像，可知： .
二､选择题（多选）【有错选得0分，全对得6分，部分对得部分分.两解题，每答对一个得3
分，三解题，每答对一个得2分】
9.ACD 10.BCD 11.BCD
10.解析：（1） （当 时取等号）；
（2） （当 时取等号）；
（3） （当
时取等号）；
（4） （当 时取等号）.
11.解析：（1） 当 时， ，又
A错，B对；
（2）
，.故C对；
（3） ，
当 时， ，
，
；故D对；
三､填空题：
12. 13. 14.
14.【解析】
，令 ，
在 ，在 ，
作出 的图像，可知： .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
解：（1）
由减区间为
（2）
，或 .
16.（本题满分15分）
解：（1）设 的公差为 ，
又
（2） ，
两式相减，得：
17.（本题满分15分）
解：（1） 被调查的学生中男生有140人，女生有160人.
男生中喜欢去乙食堂的有80人，喜欢去甲食堂的有60人..被调查的学生中喜欢去甲食堂的有160人.
调查的是 调查的是
合计
男生 女生
喜欢去
60 100 160
甲食堂
喜欢去
80 60 140
乙食堂
合计 140 160 300
零假设 ：假设学生喜欢去哪个食堂与性别无关.
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为学生喜欢去哪个食堂与性别有关.此
推断犯错误的概率不大0.001.
（2）根据男女生人数之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人.
，
，
X的分布列为：
X 0 1 2 3
p
，
18.（本题满分17分）
解（1）定义域为 ；
.
.当 时， 恒成立， ；
.当 时， 有两根，但两根均为负数，当 时，
.当 时， 有两正根 和 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时 ；
综上所述：
.当 时， 增区间为 ；
.当 时， 增区间为 和 ；减区间为
.
（2） ，令 ，则 在
，
若 ，则 ，与题意相符；
若 ，则 ，所以必存在 ，使得当 时， ，
从而使得当 时， ，与题意相矛盾；
综上： .
（3）证明：由（2）知，当 时， （仅当 时取等号），
，令 ，则有： ；
，得证.
19.（本题满分17分）解：（1）
（2）
又 ，
.
（3）
令 ，则
而 ，
.
.得证.
