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七校联合体 2024 届高三第一次联考试卷（8 月）
数学科目（答案）
DDAB BCCD
8．【详解】根据正弦和角与差角公式化简函数式可得
，（ ， ）.
根据正弦函数单调递增区间可知 ，（ ）上单调递增，
化简得 ， ；∴函数 的单调增区间为 ，（ ）.
∵在 上单调递减，可得 ，解得 ，（ ）.又 ，
当 时，可得 ；当 时，可得 .故选：D.
9．AB 10．ACD. 11．BCD
11.对于D： ， ，所以 是奇函数；
根据二次函数的单调性，易知 在 和 都是减函数，且在 处连续，所以 在
上是减函数，所以是“理想函数”.12．BC
12.【详解】取 中点 ,连接 ,可得 面 ,则 ,故A错误；
在四面体 中，过点 作 面 于点 ,则 为为底面正三角形
的重心，因为所有棱长均为 , ,即点 到平面
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司的距离为 ,故B正确；
设 为正四面体的中心则 为内切球的半径， 我外接球的半径，
因为 ，所以 ，即 ,
所以四面体 的外接球体积 ,故C正确；
建系如图： ,设 ，则
因为 ，所以 ，
即 ，平方化简可得： ，可知点 的轨迹为双曲线,故D错误.
13．【详解】符合题意的情况有两种： 名医生、 名护士和 名医生、 名护士．
选取 名医生、 名护士的方法有： 种；选取 名医生、 名护士的方法有： 种；
综上所述：满足题意的选取方法共有 种．故答案为： .
14．【详解】由题意，延长线段 与 的延长线交于点 ，连接 交 于 ，
连接 ，故平面 延展开后即为平面 ，将该正方体分成的两部分一部
分是三棱台 ，另一部分是剩余的部分.
由于 ，故 ，不妨设正方体棱长为3，
，
答案第2页，共2页，即 .故答案为： .
15．【分析】 函数 过定点（0，-2），由数形结合：
16．【详解】由 ，可设 ，由 ，
得点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶
点）.
因为 是 的角平分线，且
故 也为 的角平分线， 为 的内心.如图，设 ， ，
则由双曲线与内切圆的性质可得， ，
又 ，所以， ， 在 上的投影长为 ，则 在 上的投影向量为 ．
17．【详解】（1）解：由正弦定理可得 ，
又由 ，
因为 ，可得 ，因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，所以 .
（2）解：因为 是锐角三角形，由（1）知 且 ，可得 ，
因为 ，所以 ，由三角形面积公式得
又由正弦定理 且 ，所以 ，
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 面积的取值范围为 .
18．(1)因为三棱柱 是直三棱柱， 底面 ，
， ， ，又 ， 平面 ．所以 两两垂直．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图．
， ．
由题设 （ ）．因为 ，
所以 ，所以 ．
(2)设平面 的法向量为 ，因为 ，
所以 ，即 ．令 ，则
因为平面 的法向量为 ，设平面 与平面 的二面角的平面角为 ，
则 ．当 时， 取最小值为 ，
此时 取最大值为 ．所以 ，此时 ．
19．(1)解：函数 的定义域为 ， ，
令 ，可得 或 ，列表如下：
答案第4页，共2页极小
增 极大值 减 增
值
故函数 的极大值为 ，极小值为 .
(2)解：对于 ， ，都有 ，则 .
由（1）可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， ，因为 ，且 ，则 且 不恒为零，
故函数 在 上单调递增，故 ，由题意可得 ，故 .
20．【详解】（1）设等差数列的公差为 ，由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
（2）因为 ，令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .
21．【详解】（1）由椭圆C的焦距为2，故 ，则 ，
又由椭圆C经过点 ，代入C得 ，得 ， ，所以椭圆 的方程为： ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据题意，直线 的斜率显然不为零，令
由椭圆右焦点 ，故可设直线l的方程为 ，
与 联立得， ，则 ，
设 ， ， ， ，
设存在点T，设T点坐标为 ，由 ，得 ，
又因为 ，所以 ， ，
所以直线TA和TB关于x轴对称，其倾斜角互补，即有 ，
则： ，所以 ，
所以 ， ，
即 ，即 ，
解得 ，符合题意，即存在点T 满足题意.
22．【详解】（1）由题知， 的取值可能为1，2，3所以 ；
； ；
所以 的分布列为：
1 2 3
所以数学期望为 .
答案第6页，共2页（2）令 ，则a^= y−b^x；，由题知： ， ，
所以 ，
所以 ， ，故所求的回归方程为： ，
所以，估计 时， ；估计 时， ；估计 时， ；
预测成功的总人数为 .
（3）由题知，在前 轮就成功的概率为
又因为在前 轮没有成功的概率为
，
故 .
答案第7页，共2页
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