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绝密★本科目考试启用前
2024 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
3. 圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. B. C. D.
5. 设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
.
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设函数 .已知 ， ，且 的最小值为 ，则 （
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 分别表示河流中的生物种类数与生物
个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总
数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形， ， ，
该棱锥的高为（ ）.
A. 1 B. 2 C. D.
9. 已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A. B.
.
C D.
10. 已知 是平面直角坐标系中的点集.设 是 中两点
间距离的最大值， 是 表示的图形的面积，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
第二部分（非选择题 共110分）关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 抛物线 的焦点坐标为________．
12. 在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于原点对称.若 ，
则 的最大值为________．
13. 若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值为 ________．
14. 汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器
的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为
，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为______ ，升量器的高为
________ ．
15. 设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合 ，给出下列
4个结论：
①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ， ．
（1）求 ；
的
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 面积．关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
17. 如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在 上，且 ，
．
（1）若 为线段 中点，求证： 平面 ．
（2）若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18. 某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，
记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
的
（ⅱ）如果无索赔 保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证明）关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
19. 已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正
方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 和 的直线
与椭圆 的另一个交点为 ．
的
（1）求椭圆 方程及离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．
20. 设函数 ，直线 是曲线 在点 处的切线．
（1）当 时，求 的单调区间.
（2）求证： 不经过点 .
（3）当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与
分别表示 与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有
几个？
（参考数据： ， ， ）
21. 已知集合 ．给定数
列 ，和序列 ，其中 ，对数列 进行如
下变换：将 的第 项均加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项
均加1，其余项不变，得到数列记作 ；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
（1）给定数列 和序列 ，写出 ；
（2）是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，
写出一个符合条件的 ；若不存在，请说明理由；关注精品公众号【偷着学】或添加微信：tzx985tzx
（3）若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项
都相等”的充要条件为“ ”．
