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2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学文科
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分
150分。
试卷总评：总体来说2012湖南文科数学试题相对于2010，2011维持的稳定的命题趋势，
试题注重层次叠进，沿用了2011的命题思路，文理同题，注重了对文理科考试内容和层
次差别的处理。选择题、填空题的布局合理，注重对考生基础知识，基本技能的全面考查，
为学生的能力考查提供了一个良好的环境。总体来说，试卷有利于课改，有利于中学教学，
有利于高校选拔人才。
一选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求的。
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是 （ ）
A. B. C. D.
第1页 | 共14页4. 某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
5. 设某大学的女生体重 （单位： ）与身高 （单位： ）具有线性相关关系，根
据一组样本数据 ，用最小二乘法建立的回归方程为
，则下列结论不正确的是（ ）
A． 与 具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心
C. 若该大学某女生身高增加1 ，则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170 ，则可断定其体重必为58.79kg
6. 已知双曲线 的焦距为10，点 在的渐近线上，则 的方程为（
）
A． B. C. D.
7. 设 ， ，给出下列三个结论：
第2页 | 共14页① ；② ；③ .
其中所有的正确结论的序号是（ ）
A.① B. ①② C. ②③ D.①②③
8. 在 中， ， ， ，则 边上的高等于 （ ）
A. B. c. D.
9. 设定义在 上的函数 是最小正周期为 的偶函数， 是 的导函数，
[来源:学科网]
当 时， ；当 且 时， .
则函数 在 上的零点个数为 （ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 8
第3页 | 共14页二填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题
卡中对应题号的横线上。
一、选做题（请考生在第10、11二题中任选一题作答，如果全做，则按第一题记分）
10. 在极坐标系中，曲线 与曲线 的一个交点
在极轴上，则 .
11. 某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为
，精确度要求 .用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要
的最少试验次数为 .
二、必做题（12~16题）
12．不等式 的解集为 。
第4页 | 共14页13．图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五
场比赛中得分的方差为 .
(注：方差 ，
其中 为 的平均数）
【答案】
【解析】由茎叶图的数据可知，样本平均数为 ，再由方差公式
可得 .
【考点定位】茎叶图和方差.
14．如果执行如图3所示的程序框图，输入 ，则输出的数 .
15．如图4，在平行四边形 中， ，垂足为 ，且 ，则
.
第5页 | 共14页16．对于 ，将 表示为 ，当
时， ，当 时， 为0或1.定义 如下：在 的上述表示中，
当 中等于1的个数为奇数时， ；否则 .
(1) ;
(2)记 为数列 中第 个为0的项与第 个为0的项之间的项数，则 的
最大值是 。
第6页 | 共14页三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
[来源:Z#xx#k.Com]
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市
购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：
一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件以上
顾客数（人） 30 25 10
[来源:学科网]
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
第7页 | 共14页第8页 | 共14页18. 已知函数 的部分图象如图5所示，
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调递增区间.
.
由 ，得 .
第9页 | 共14页所以函数 的单调递增区间是 .
【考点定位】三角函数的图像与性质.
[来源:Z+xx+k.Com]
19. (本小题满分12分)
如图6，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是等腰梯形，
// ， .
(1)证明： ；
（2）若 ，直线 与平面 所成的角为 ，求四棱锥
的体积.
第10页 | 共14页20. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，
将其投入生产，到当年年底资金增长了50%. 预计以后每年资金年增长率与第一年
的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 万元，并将剩余资金全部
投入下一年生产.设第 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 万元.
(1)用 表示 ，并写出 与 的关系式；
（2）若公司希望经过 年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每
年上交资金 的值（用 表示）.
【解析】（I）由题意得 ，
，
（II）由（I）得
第11页 | 共14页21.(本小题满分13分）在直角坐标系 中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆
的一个焦点为圆 的圆心.
(1)求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，过 作两条斜率之积为 的直线 .当直线 都与圆
相切时，求 的坐标.
第12页 | 共14页22. （本小题满分13分）
已知函数 ，其中 .
(Ⅰ)若对一切 恒成立，求 的取值集合；
（Ⅱ）在函数 的图象上取定两点 ，记直线
的斜率为 ，证明：存在 ，使 成立.
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