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2024年高考押题预测卷01【天津卷】
数学·全解全析
一、单项选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为全集 ，集合 ，所以 ，
又 ，所以 ，故选A.
2．已知 ，则（ ）
A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的充要条件
C．q是p的必要不充分条件 D．q是p的充分不必要条件
【答案】D
【解析】由题得 .
当命题 成立时，命题 不一定成立，所以p是q的非充分条件，q是p的非必要条件；
当命题 成立时，命题 一定成立，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件.
所以p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件，故选D
3．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 为 上的减函数，又 ，
所以 ，故 ；
1
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学科网（北京）股份有限公司函数 为 上的减函数，又 ，
所以 ，故 ；
函数 为 上的增函数，又 ，
所以 ，故 ；
所以 ，故选B.
4．已知函数 的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A， ，
又 的定义域为 ，
为 上的奇函数，图象关于原点对称，与已知图象相符；
当 时， 为增函数， 为增函数，又 在 上单调递增，
由复合函数单调性可知： 在 上单调递增，
又 ，
2
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学科网（北京）股份有限公司在 上单调递减，与已知图象不符，A错误；
对于B，由 得： ， 的定义域为 ，与已知图象不符，B错误；
对于D， ，
不是奇函数，图象不关于原点对称，与已知图象不符，D错误.
故选：C.
5．已知等比数列 的前 项和 ，满足 ，则 （ ）
A．16 B．32 C．81 D．243
【答案】A
【解析】等比数列 的前 项和为 ，且 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，故等比数列 的公比为 ．
在 中，
令 ，可得 ，∴ ，则 ，故选A．
6．已知函数 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为 ，直线 是其图象的一
条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值是4，最小值是0，
∴A= =2，m= =2，∵
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学科网（北京）股份有限公司∵直线x= 是其图象的一条对称轴， 所以
φ=- +kπ，k∈Z∴函数的解析式为y=2sin（4x- +kπ）+2，k∈Z，
可以为 ，故选B
7．下列说法正确的是（ ）
A．一组数据 的第80百分位数为17；
B．根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值 的独立性检验
，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05；
C．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0；
D．若随机变量 满足 ，则 ．
【答案】B
【解析】A选项， ，故从小到大排列，第8个数和第9个数的平均数作为第80百分位数，
即 ，A错误；
B选项，由于 ，得到 与 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，B正确；
C选项，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，C错误；
D选项，若随机变量 满足 ，则 ，D错误.
故选：B
8．在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有
一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的
球心 （水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，圆 与AB切于点D，设球的半径为 ，
则 ，且 ，
有 ，即 ，得 ，
所以水的体积 ，
所以水的体积与球的体积之比是 ，故选D.
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点M在双曲线C的右支上，
，若 与C的一条渐近线l垂直，垂足为N，且 ，其中O为坐标原点，则双
曲线C的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】因为 ， ，且 为 中点，所以 ，且 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
直线l的方程为 ，所以 ，则 ，在直角三角形 中利用勾股定
理得 ，解得 ，所以双曲线的标准方程为 ，故选C.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．i是虚数单位，复数 .
【答案】
【解析】 ，
11． 的展开式中 的系数为 .
【答案】
【解析】 的展开式的通项 ，
令 ，得 ，所以 的展开式中 的系数为 .
12．已知过原点O的一条直线l与圆C： 相切，且l与抛物线 交于O，P两
点，若 ，则 ．
【答案】3
【解析】由于圆心为 ，半径为 ，故直线 一定有斜率，
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学科网（北京）股份有限公司设 方程为 ，则 ，解得 ，
故直线 方程为 ，
联立 与 可得 或 ，
故 ，故 ，
13．有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为
10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为
；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的
零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 ．
【答案】
【解析】由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工
零件，同时出现优秀品的概率为
记 “加工的零件为优秀品”， “零件为第1台车床加工“， “零件为第2台车床加工“，
， ， ， ，
由全概率公式可得 ，
14．如图，平行四边形 中 ， ， ， ， ，设 ，
，用 ， 表示 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ；
【解析】空一：因为 ，
所以 ；
空二：因为 ，
所以 ，
因此 ，
因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，
15．已知函数 有且仅有2个零点，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】（1）当 ，即 时，
恒成立，
所以 ，
因为 有两个零点，
所以 且 ，解得 或 （舍），
所以 或 ；
（2）当 ，即 或 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 的两个根为 ，且 ，
当 时， 恒成立，不满足题意，
当 ，有 有两个解，
因为 ， ，所以 与 在 必有一个交点，
当 时， 与 没有交点，
当 时， ，所以 与 在 必有一个交点
所以要使方程 有且只有两个零点，
则 无解，
即 没有实数根，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
综上实数 的取值范围为： .
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）在非等腰 中， ， ， 分别是三个内角 ， ， 的对边，且 ，
， .
(1)求 的值；
(2)求 的周长；
(3)求 的值.
【解】（1）在 中，由正弦定理 ， ， ，
可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，即 ，
显然 ，解得 ．
（2）在 中，由余弦定理 ，
得 ，解得 或 ．
由已知 ， ， 互不相等，所以 ，
所以 ．
（3）因为 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
17．（本小题满分15分）如图，四棱锥 中， ，平面 平面 ，
， 为 的中点.
（1）求证: //平面 ；
（2）求点 到面 的距离
（3）求二面角 平面角的正弦值
【解】（1）取 中点 ，连接 ，如图
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学科网（北京）股份有限公司由 为 的中点，所以 // 且
又 ，且 ，
所以 // 且 ，
故 // 且 ，
所以四变形 为平行四边形，故 //
又 平面 ， 平面
所以 //平面
（2）由 ， 平面
平面 平面 ，
平面 平面
所以 平面 ，又 平面
所以 ，由 ，
所以 为正三角形，所以
则 平面
所以 平面 ，且
所以点 到面 的距离即
（3）作 交 于点 ，
作 交 于点 ，连接
由平面 平面 ， 平面平面
平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，又
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学科网（北京）股份有限公司平面 ，所以 平面
又 平面 ，所以
所以二面角 平面角为
，又 为等腰直角三角形
所以 ，所以
所以
又二面角 平面角为
故
所以二面角 平面角的正弦值为
18．（本小题满分15分）已知椭圆 ： ，其离心率为 ，若 ， 分别为 的左、
右焦点， 轴上方一点 在椭圆 上，且满足 ， ．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线 交 于另一点 ，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ，若 的
面积是 的面积的2倍，求直线 的方程．
【解】（1）解：因为 ，所以 ，且
又 ，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，
又离心率 ，所以 ， ，所以 ，
所以椭圆方程为 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：由（1）可得 点的坐标为 ，
依题意直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
由 消去 整理得 ，解得 或 ，
所以 点坐标为 ，
从而 点坐标为 ，
所以直线 的方程为 ，
则 点的坐标为 ，
因为 的面积是 的面积的2倍，
所以 或 ，
当 时，即 ，解得 ，所以直线 的方程为 ；
当 时，即 ，解得 ，所以直线 的方程为 ；
所以满足条件的直线 的方程为 ，
19．（本小题满分15分）若某类数列 满足“ ，且 ” ，则称这个数列
为“ 型数列”.
(1)若数列 满足 ，求 的值并证明：数列 是“ 型数列”；
(2)若数列 的各项均为正整数，且 为“ 型数列”，记 ，数列 为等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司公比 为正整数，当 不是“ 型数列”时，
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求证： .
【解】（1） ，令 ，则 ，
令 ，则 ；由 ①，
当 时， ②，
由① ②得，当 时， ，
所以数列 和数列 是等比数列.
因为 ，所以 ，
所以 ，因此 ，
从而 ，所以数列 是“ 型数列”.
（2）（i）因为数列 的各项均为正整数，且 为“G型数列”，
所以 ，所以 ，因此数列 递增.又 ，
所以 ，因此 递增，
所以公比 .又 不是“ 型数列”，所以存在 ，
使得 ，所以 ，又公比为正整数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，又 ，所以 ，则 .
（ii） ，
因为 ，所以 ，
所以 ，令 ，当 时， ，
当 时，
20．（本小题满分16分）设函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数
（i）当 时， 取得极值，求 的单调区间；
（ii）若 存在两个极值点 ，证明： .
【解】（1） ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）（i） ，
，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 时， 取得极值，∴ ，解得 ，
∴ ，
令 ，得 或 ；令 ，得 ，
∴ 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；
（ii） ，
∵ 存在两个极值点，
∴方程 ，即 在 上有两个不等实根.
∵ ，解得 ，
则
∴所证不等式 等价于 ，
即 ，
不妨设 ，即证 ，
令 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
∴ 在 上递增，∴ ，
∴ 成立，
∴ .
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学科网（北京）股份有限公司
