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荆州中学 2025-2026 学年高三上学期 12 月月考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
π π
1.已知函数 f ( x )=sin3x+ϕ− ϕ 为偶函数，则ϕ=( )
6 2
π π π π
A. B. − C. D. −
6 6 3 3
2.已知 抛物线E: y2 = 2px(p > 0)的焦点为F ，过点F的直线l与 E交于A，B两点，点M为
线段AB的中点，若点M的横坐标为p，| AB|=12，则 p= ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
1
7
3. x− 的展开式中，x的系数为( )
2 x
21 21 35 35
A. B. − C. D. −
4 4 16 16
4.已知圆锥的底面半径为 2 ，高为2，正方体 ABCD− ABC D 棱长为a，若点A，B， C，D
1 1 1 1
在该圆锥的侧面上，点A ,B,C ,D 在该圆锥的底面上，则a=( )
1 1 1 1
2
A. 2 B. 2 C. 1 D.
2
a−c sinB
5.已知�ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 = ，则 A=( )
b+c sinA+sinC
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
6.对数log 3的第一位小数的值为( )
2
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
cos2α sin2β
7.若 = ，则( )
1+sin2α 1+cos2β
A. tan(α−β)=1 B. tan(αβ+ )=1 C. tan(α−β)=−1 D. tan(αβ+ )=−1
8.已知x >0，x 2 −2xy+ z2 =0，x2 < y z，则( )
A. y > z > x B. x > y > z C. y > x > z D. z > x > y
学科网（北京）股份有限公司二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得6分，有选错的得0 分，部分选对的得部分分．
3−5i
9.若复数z = ，则( )
1−i
A. z =4−i
B. |z |= 17
C. z在复平 面内对应的点位于第四象限
D. 复数ω满足|ω|=1，则|ω−z|的最大值 为 17 +1
10.已知函数 f(x)为R上的奇函数，g ( x )= f ( x+1 )为偶函数，下列说法正确的有( )
A. f(x)图象关于直线x=−1对称 B. g
(
2023
)=0
C. g(x)的最小正周期为4 D. 对任意x∈R都 有 f ( 2−x )= f ( x )
n−2
11.已知数列{a }的通项公式a = ，前n项和为S ，则( )
n n 2n−15 n
1
A. 数列{ }为等差数列 B. ∃n∈N*，使得a >a
2a −1 n+1 n
n
11
C. 当n=8时，S 取得最小值 D. 数列{a −a }的最大项的值为
n n n+1 3
三、填空题：本题共3小题，每小题 5分，共 15 分．
12.已知OA=(1,2),OB =(3,1)，则∠AOB = .
13.甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站 2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相
邻，丙不站前排，则不同的站法共有 种(用数字作答).
14.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.若一 个声音的数学模型是函数
1
f(x)=sinx+ sin2x，则 f(x)的最小正周期是 ， f(x)的最大值是 .
2
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.(本小题13分)
某种量子加密技术所用光子有两种指向：“0指向”和“1指向”，光子的发送和接收都
有A、B两种模式.当发送和接收模式相同时，检测器检测到的光子指向信息与发送信息一致，
否则检测出相异的指向信息.
现发射器以A模式，从两个“1指向”、两个“0指向”的光子中随机选择两个依次发送，接
1 2
收器每次以A或者B模式接收，其概率分别为 和 .每次发送和接收相互独立.
3 3
(1)求发射器第1次发送“0指向”光子的条件下，第二次发送“1指向”光子的概率；
(2)记发射器共发射“0指向”光子个数为X，求X的分布列.
16.（本小题15分）
已知正项数列{a }的前n项和为S ，且4S = a2 +2a .
n n n n n
(1)求{a }的通项公式；
n
(−1)n
(2)若b = ，记数列{b }的前n项和为T ，求T .
n a − a n n 120
n+1 n
17.（本小题15分）
lnx a
已知函数 f(x)=ex − + −1.
x x
(1)若在（1，f(1))处的切线斜率为−1，求a；
(2)若 f(x)0恒成立，求a的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司18.(本小题17分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB ⊥ AD ，AD//BC，
AD =2AB =2BC =2.
(1)证明：平面PAC ⊥平面PCD；
(2)若PA= 2，动点M 在�PAD内(含边界)且MB2 +MD2 =5.
①求动点M 的轨迹的长度；
②设直线CM 与平面PBD所成角为θ，求sinθ的取值范围.
19.(本小题17分)
x2 y2 x2 y2
如图，椭圆Γ : + =1(m>n>0)，Γ : + =1，已知Γ 右顶点为H(2,0) ，且它们的交
1 m n 2 n m 1
点分别为P(1,1)，P (−1,1)，P(−1,−1)，P (1,−1).
1 2 3 4
(1)求Γ 与Γ 的标准方程；
1 2
(2)过点P作直线MN，交Γ 于点M，交Γ 于点N，设直线PM 的斜率为k ，直线PN 的斜率为
1 1 2 3 1 3
k
k ，求 2 ；（上述各点均不重合）
2 k
1
(3)点Q 是Γ 上的动点，直线QP交Γ 于点Q ，直线Q P 交Γ 于点Q ，直线Q P 交Γ 于点Q ，
1 1 1 1 2 2 2 2 1 3 3 3 2 4
直线Q P 与直线QP交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值.(上述各
4 4 1 1
点均不重合)
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