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2012 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学
（理工类）
【试题总评】历年的四川高考试题都始终遵从源于教材、注重基础、全面考查、突出主干、
注重思想、考查本质、多考点想，少考点算、能力立意、突出思维、稳中有进， 2012年
高考数学四川卷也不例外，作为四川省最后一届的大纲版学习考试，在此次的高考中，试
卷在题型、题量、难度分布上保持了相对的稳定，同时也有适当的创新，在2010年四川高
考中把17、18、19题考点内容进行调整后，此次高考试卷也对试题的顺序做了适当的顺序
调整，打破了以前的传统式的考题顺序。2012年四川高考数学卷很大一部分试题直接源于
教材或由教材上的例题、习题、复习题改变而成，这些试题注重基础知识的理解和运用。
例如第(1)、(5)、(8)等15个题目。从而也充分说明了高考对基础知识的重视，立足于教材、
回归到教材、重视课本、减轻学业负担，实施素质教育的导向作用。2012年四川高考数学
解答题目注重学生对基础知识的理解和运用，在题型上面略有创新，题目的灵活性加强，
不再像以往试题固定化模式解题。解答题部分注重考察学生的思维能力，运算能力，分析
问题和解决问题的能力，创新意识，考察函数，方程的转化、划归，特殊和一般等思想方
法。总的来说，2012年四川高考数学试题相对稳定，注重基础，保持了四川卷的命题风格，
同时又立足于现行高中数学教材和教学实际试题。
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么
在 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
第一部分 （选择题 共60分）
注意事项：
1、选择题必须使用2B铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 的展开式中 的系数是（ ）
(1x)7 x2
A、21 B、28 C、35 D、42
第1页 | 共19页2、复数 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、函数 在 处的极限是（ ）
A、不存在 B、等于 C、等于 D、等于
4、如图，正方形 的边长为 ，延长 至 ，使 ，连接 、 则
（ ）
D C
A、 B、 C、 D、
答案：B
E A B
5、函数 的图象可能是（ ）
第2页 | 共19页6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ）
A、 B、 C、 D、 且
[来
第3页 | 共19页力和对充分必要条件的理解能力.
源:
8.已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 。若点 到
x O M(2,y ) M
0
该抛物线焦点的距离为 ，则 （ ）
3 |OM |
A、 B、 C、 D、
2 2 2 3 4 2 5
9、某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗 原料1千克、 原料2千
克；生产乙产品1桶需耗 原料2千克， 原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每
桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 、 原料都
不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得
的最大利润是（ ）
[来源:学科网]
A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元
[来源:学|科|网]
10、如图，半径为 的半球 的底面圆 在平面 内，过点 作平面 的垂线交半球面
于点 ，过圆 的直径 作平面 成 角的平面与半球面相交，所得交线上到平面
的距离最大的点为 ，该交线上的一点 满足 ，则
A
B
、 两点间的球面距离为（ ）
D
A、 B、 C、 P
O
α C
第4页 | 共19页D、
11、方程 中的 ，且 互不相同，在所有这些方
程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）
A、60条 B、62条 C、71条 D、80条
第5页 | 共19页12、设函数 ， 是公差为 的等差数列，
，
则 （ ）
A、 B、 C、 D、
第二部分 （非选择题 共90分）
注意事项：
（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先
用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。
（2）本部分共10个小题，共90分。
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置
上。）
13、设全
集
第6页 | 共19页，集合 ， ，则 ___________。
14、如图，在正方体 中， 、 分别是棱 、 D 1 C 1
B
A 1
1
的中点，则异面直线 与 所成角的大小是____________。 N
D C
M
答案：
A B
15、椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ，当 的周
长最大时， 的面积是____________。
16、记 为不超过实数 的最大整数，例如， ， ， 。设 为
第7页 | 共19页正整数，数列 满足 ， ，现有下列命题：
①当 时，数列 的前3项依次为5,3,2；
②对数列 都存在正整数 ，当 时总有 ；
③当 时， ；
④对某个正整数 ，若 ，则 。
[来源:学|科|网Z|X|X|K]
第8页 | 共19页其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算
步骤。）
17、(本小题满分12分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） 和 ，系统 和 在任
第9页 | 共19页意时刻发生故障的概率分别为 和 。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ，求 的值；
（Ⅱ）设系统 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ，求 的概率分
布列及数学期望 。
18、(本小题满分12分)
函数 在一个周期内的图象如图所示， 为图
象的最高点， 、 为图象与 轴的交点，且 为正三角形。
（Ⅰ）求 的值及函数 的值域；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 的值。
第10页 | 共19页19、(本小题满分12分)
如图，在三棱锥 中， ， ， ，点
PABC APB 90 PAB 60 AB BC CA
P在平面ABC内的射影O在AB上。
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小； P
C
（Ⅱ）求二面角BAPC的大小。
答案：（Ⅰ） （Ⅱ）
A B
第11页 | 共19页第12页 | 共19页20、(本小题满分12分) 已知数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数
都成立。
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，当 为何值时， 最大？并求出 的
最大值。
[来源:学,科,网]
第13页 | 共19页21、(本小题满分12分)
如图，动点 到两定点 、 构成
，且 ，设动点 的轨迹为 。 y
M
（Ⅰ）求轨迹 的方程；
（Ⅱ）设直线 与 轴交于点 ，与轨迹
A O B x
第14页 | 共19页相交于点 ，且 ，求 的取值范围。
而点 在曲线 上，
综上可知，轨迹C的方程为 （x>1）.
第15页 | 共19页22、(本小题满分14分)
已知 为正实数， 为自然数，抛物线 与 轴正半轴相交于点 ，设
第16页 | 共19页为该抛物线在点 处的切线在 轴上的截距。
（Ⅰ）用 和 表示 ；
（Ⅱ）求对所有 都有 成立的 的最小值；
（Ⅲ）当 时，比较 与 的大小，并说明理由。
第17页 | 共19页所以满足条件的a的最
小值为 .
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[来源:学科网ZXXK]
考点定位：本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识.考查思维能力、运算能
第18页 | 共19页力、分析问题与解决问题的能力和创新意识.考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思
想方法.
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