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成都外国语学校高 2022 级高二上期 9 月月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. －2 C. D. 4
2. 已知向量 满足 ，则 （ ）
.
A B. C. 3 D. 4
3. 在 中，若 ， ， ，则C等于（ ）
A. B. 或 C. D. 或
4. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取 名同学参加课外知识测试，测试共 道题，每答
对一题得 分，答错得 分.已知每名同学至少能答对 道题，得分不少于 分记为及格，不少于 分
记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 该次课外知识测试及格率为
B. 该次课外知识测试得满分的同学有 名
C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D. 若该校共有 名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有 名5. 已知平面 、 ，直线 ，直线 不在平面 内，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
6. 将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则 的可能取值
为（ ）
A. B. C. D.
7. 在棱长为1的正方体 中， 分别为 ， 的中点，过直线 的平面
//平面 ，则平面 截该正方体所得截面为（ ）
A. 三角形 B. 五边形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形
8. M为△ABC所在平面内一点，且 ，则动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知圆锥顶点为 ，底面圆心为 ， 为底面的直径， ， 与底面所成的角为 ，则（
）
A. B. 该圆锥的母线长为
C. 该圆锥的体积为 D. 该圆锥的侧面积为
10. 已知 的角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 且 ，则下列说法正确
的是（ ）A. B.
C. 为等腰非等边三角形 D. 为等边三角形
11. 如图，在四边形 中， ， ， ，E为 的中点，
与 相交于F，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. 在 上 投影向量为
的
C. D. 若 ，则
12. 在正方体 中， 是侧面 上一动点，下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 若 ∥ ，则 平面
C. 若 ，则 与平面 所成角为
D. 若 ∥平面 ，则 与 所成角 的正弦最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13. 用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为 45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了
15人.则该校高中学生总数是________人.
14. 在△ 中， 是 边上一点，且 ， 是 上的一点，若 ，
则实数 的值为__________．15. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中， 平面
， ， ，已知动点 从 点出发，沿外表面经过棱 上一点到点 的最短
距离为 ，则该棱锥的外接球的体积为______.
16. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，角 的平分线与 交于点 ，
且 ，则 的值为_________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
的
17. 如图，四棱锥 底面为正方形， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；（2）若 平面 ，证明： .
18. 设A，B，C，D为平面内的四点，且 .
（1）若 ，求D点的坐标；
（2）设向量 ，若向量 与 平行，求实数k的值.
19. 为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：
），将全部数据按区间 ， ，…， 分成8组，得到如下的频率分布直方
图：
（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居
民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均
用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）.
20. 已知函数 的图象如图所示．
（1）求函数 的解析式及单调递增区间；（2）若函数 ，满足 对任意的 恒成立，求实数 的取值范
围．
21. 在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 .
（1）求角B的大小；
的
（2）若 是锐角三角形，求 面积的取值范围.
22. 如图，ABDC是平面四边形， 为正三角形， ， ．将 沿BC翻折，
过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．
（1）若点H在线段BD上，求AD的长；
（2）若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为 ，求二面角 的余
弦值．
