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哈尔滨市第六中学 2023 级上学期期末考试
高三数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数 ，则 的值为（ ）
.
A B. C. D.
3. 平面向量 满足 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设 为正项递增等比数列 的前 项和， ，且 成等差数列，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
5. 的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 哈六中开展爱国主义教育，决定在2026年1月16日组织高一年级1到5班去“731日本罪证陈列馆”、
“哈尔滨烈士陈列馆”两所展馆参观，每个班级去一个展馆，且每个展馆至少去一个班级，若1班和2班必
须去同一展馆，则不同的分配方案种数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7. 已知双曲线 的右焦点为 ，过 作双曲线 一条渐近线的垂线，
垂足为点 且与另一条渐近线交于点 ，若 ，则双曲线 的方程为（ ）
.
A B. C. D.
8. 已知函数 ，则函数 的图象与函数 的图象的所有交点
的横坐标之和为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 小松同学所在学习小组开展社会调查，记录了某快餐连锁店每天骑手的人均业务量．现随机抽取 天
的数据，将样本数据分为 ， ， ， ， ， ， 七组，
整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（ ）
A. 根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的第 百分位数为
B. 根据频率分布直方图估计，每天骑手的人均业务量的平均数为
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学科网（北京）股份有限公司C. 根据频率分布直方图估计， 天中某骑手的业务量在 单及以上的天数为 天
D. 根据频率分布直方图估计， 天中骑手的业务量的极差为 单
10. 已知 是抛物线 的焦点，过 的直线交抛物线于 两点，交抛物线的准线于点 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. 以线段 为直径的圆与该抛物线的准线相切
B. 若抛物线上的点 到点 的距离为 ，则抛物线的方程为
C. 若 ，且 在 之间，则抛物线的方程为
的
D. 若线段 中点到抛物线准线的距离为 ，则
11. 如图，三棱锥 中，平面 平面 ，过点 且与 平行的平面 分别与棱 、
交于 两点，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 为 的中点，则 为 的中点
B. 若 ，则四棱锥 的体积为
C. 平面 平面
D. 三棱锥 的外接球的体积为
三、填空题：本题共3个小题，每题5分，共15分.
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知函数 的最小正周期为 ，若函数 图象关于直线
对称，则 __________．
13. 某工厂为研究某种产品的产量 （吨）与所需某种原材料的质量 （吨）的相关性，在生产过程中收
集 组对应数据 ，如下表所示．（残差 观测值 预测值）
3 4 5 6
2.5 4 4.5
根据表中数据，得出 关于 的经验回归方程为 ，据此计算出在样本 处的残差为
，则表中 的值为__________．
14. 设函数 在 上存在导函数 ，对 ，都有 ，当 时， 成
立，若 ，则实数 的取值范围为___________．
第Ⅱ卷（非选择题 共77分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直三棱柱 中， 是边长为 的正三角形， 为 的中点，且 .
（1）证明：平面 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
16. 已知 中，内角 所对的边分别是 ，且 .
（1）若 ，求 的面积 的值；
（2）若 边上 高为 ，求角 的大小及 的值.
的
17. 已知数列 为正项数列， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，求数列 的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设 ，求数列 的前 项和 .
18. 已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间和极值；
（2）当 时，证明： ；
（3）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
19. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，且过点 的直线 与
椭圆 交于 两点， 的周长为8.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 上存在点 ，使原点 为 的重心，求直线 的方程；
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学科网（北京）股份有限公司（3）设椭圆 的上、下顶点分别为 ，若直线 与y轴交于点 ，直线 与 交于点Q，求证：
为定值，并求出该定值.
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