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江油中学 2021 级高三上 9 月月考
数学（理）试题
第I卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=3k,k∈Z}
A∩B=
1．已知 ，则 （ ）
{0,2,3,4,6，⋯⋯} {⋯⋯，−6，−4，−3，−2,0,2,3,4,6，⋯⋯} {x|x=k,k∈Z} {x|x=6k,k∈Z}
A． B． C． D．
2．已知命题 ，命题 ，则（ ）
A．“ ”是假命题 B．“ ”是真命题 C．“p∨¬q”是假命题 D．“p∧¬q”是真
命题
3．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由
弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为2，圆心角为 ，则此弧田的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的图象大致形状为（ ）．
A． B． C． D．
5．已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．如右图的程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．
执行该程序框图，若输入 ，则输出 的值为（ ）
试卷第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司A．4 B．37 C．148 D．333
7.已知函数 ，若 ，则 （ ）
1 1 1
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知命题p：函数 在 上单调递减；命题 ，都有 ．
若 为真命题， 为假，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
9．函数 在区间 上单调递减的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数 ，且不等式 的解集为 .若不等式 在 上有
解，则实数 的取值范围为（ ）
√2
√2 √2
[ ，+∞）
A .（−∞， ） B. C. （ ，+∞） D.
4 4 4
11．若函数 满足 ，且 时， ，已知函数 则函
数 在区间 内的零点个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
12．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．设函数 ．
14.若 ，则 ．
试卷第2页，共2页
学科网（北京）股份有限公司15．定义在 上的函数 满足 是偶函数，且 ，若 ，则
.
16．已知函数 ，若函数 有四个不同的零点 、 、 、 ，且 ，
则以下结论正确的是 .
① ；② ；③ ；④ .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
17．在平面直角坐标系： 中，角 以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点 .
−2sinα+cosα
(1)若 ，求tanα及 2cosα−sinα 的值；
(2)若 ，求点P的坐标.
18．已知函数 在 处取得极值0.
(1)求 ；
(2)若过点 存在三条直线与曲线 相切，求买数 的取值范围.
19．“硬科技”是以人工智能，航空航天，生物技术，光电芯片，信息技术，新材料，新能源，智能制造等为代
表的高精尖技术，属于由科技创新构成的物理世界，是需长期投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技
术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿.最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高
科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售，假设该高级设备的年产量为x
百台，经测算，生产该高级设备每年需投入固完成本1500万元，最多能够生产80百台，每生产一百台台高级设备
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学科网（北京）股份有限公司需要另投成本 万元，且 ，每台高级设备售价为2万元，假设每
年生产的高级设备能够全部售出.
(1)求企业获得年利润 （万元）关于年产量x（百台）的函数关系式（利润 销售收入 成本）；
(2)当该产品年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
20．已知函数 = （m ）是定义在R上的奇函数
(1)求m的值;
(2)根据函数单调性的定义证明 在R上单调递增;
(3)若对 ，不等式 ) 0恒成立，求实数k的取值范围.
21.已知函数 ．
a>0 [1，e]
(1)当 时，求函数 在区间 上的最大值；
(2)若 为函数 的极值点，求证：
（二）选考题（共10分，请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分）
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学科网（北京）股份有限公司[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中， 是经过点 且倾斜角为 的直线，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求 的极坐标方程；
(2)若曲线 的极坐标方程为 ，设 与 和 的交点分别为 ， ，求 ．
23．已知函数 .
(1)若 时， 恒成立，求 的取值范围；
(2)若 的最小值为1，求 的值。
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学科网（北京）股份有限公司江油中学 2021 级高三上 9 月月考
数学（理）试题
参考答案：1.D 2．D 3．A 4.B 5．D 6．B 7.A 8.A 9 C 10.B 11.C 12．D
11．C【详解】因为 ，则 ，所以 是周期为2函数，
因为 时 ，则 、 的图象如下：
时 且递增， 时 且递减， 时 且递增，
又 ， ， ，
由图知：区间 上函数交点共有12个．
12．D【详解】令 ， ，则 ，故 在 上单调递减，
所以 ，即 ，即 ，故 ；
令 ，则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
，
令 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，所以 ，所以 ；
综上： .
二、填空题
13. 6 14．0 15． / 16．①②④
16．①②④【详解】设 ，其中 ，则 ，
答案第1页，共6页
学科网（北京）股份有限公司g' (x)>0 g' (x)<0
当 时， ，此时函数 单调递增，当 时， ，此时函数 单调递减，
所以，函数 的极大值为 ，且当 时， ，
作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有四个交点，②对；
因为 ，则 ，由图可知 ，则 ，
所以， ，①对；
令 ，其中 ，由图可知 ，
，
当 时， ，则 ，此时函数 单调递减，
所以， ，即 ，
因为 ， ，且函数 在 上单调递减，
所以， ，则 ，故 ，③错④对.
故答案为：①②④.
三、解答题
17．(1) ； (2) 【详解】（1）若角 以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点
答案第2页，共6页
学科网（北京）股份有限公司，
若 ，则 ，则 ，
可得 ，
（2）由题意
又 ，①
两边平方，可得 ，可得 ，
可得 ，②
联立①②，可得 所以点P的坐标为 .
18．(1) (2) 【详解】（1）由题意知 ，
因为函数 在 处取得极值0，所以 ，解得
，经检验，符合题意，所以 ；
（2）由（1）可知，函数 ，所以 ，设切点坐标为 ，
所以切线方程为 ，因为切线过点 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，令 ，解得 ，或 ，
当 变化时， 的变化情况如下表所示，
答案第3页，共6页
学科网（北京）股份有限公司1
- 0 + 0 -
单调递减 单调递增 0 单调递减
因此，当 时， 有极小值 ，当 时， 有极大值 ，
过点 存在3条直线与曲线 相切，等价于关于 的方程 有三个不同的根，则
，所以实数 的取值范围是 .
19．(1) (2)当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1250万元
【详解】（1）∵ ，
∴当 时， .
当 时， .
综上所述， .
（2）由（1）得
∴当 时，
∴当 时， （万元）
当 时，
答案第4页，共6页
学科网（北京）股份有限公司（万元）
当且仅当 ，即 时等号成立.
又 . 故当年产量为60百台时，公司获利最大，且最大利润为1250万元.
20．(1) ；(2)证明见解析；(3) ．【详解】（1） 是奇函数，∴ ， ，
时， ，满足 ， 是奇函数，所以 ；
（2）设任意两个实数 满足 ，则 ，
∵ ，∴ ， ，∴ ，即 ，
所以 在R上为单调递增；
（3）原不等式化为 ，
∵ 是奇函数，∴不等式化为 ，
又 是增函数，所以 ，∴问题转化为 ， 恒成立，
设 ， ，
，即 时， ， ．
，即 时， ，无解；
，即 时， ，无解；
综上， ．
21.【详解】（1） 定义域为 ，则 ，
当 时， ， ，所以 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
1 1 1 1
0< <1 1≤ ≤e f (x)=f( )=−lna e<
若 a ， f max (x)=f(1)=1−a ；若 a ， max a ；若 a ，
答案第5页，共6页
学科网（北京）股份有限公司f (x)=f(e)=2−ae
max .
1
{
f
(
x )=¿{1
−
a,a
>
1
¿ −
lna,
≤
a
≤
1
¿¿¿¿
所以， max
e
（2） （ ）
则 ，
因为 是函数 的极值点，所以 ，即： ，
要证 ，
只需证 ，即证： ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 ，即： ，
所以 ，所以 ，
①当 时，因为 ， ，所以 .
②当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，要证 ，
只需证 ，
即证 对任意的 恒成立，
令 （ ），则 ，
答案第6页，共6页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以 ，
即当 时， 成立.
综述：原不等式成立.
22．(1) (2) 【详解】（1）由题意得 的直角坐标方程为 ，即
，
化为极坐标方程为 ，化简得 .
（2）曲线 的极坐标方程为 ，设 与 和 的交点分别为 ， ，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
所以 .
23．(1) (2) 或
【详解】（1）当 时，因为 ，所以 ， ，不合题意；
当 时，由 ，得 ，得 ， ，
因为 时， 恒成立，所以 ，解得 .
（2） ，
答案第7页，共6页
学科网（北京）股份有限公司因为 ，令 ，得 ；令 ，得 ，
若 ，则 ，则 ，
则 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为增函数，
所以 ，解得 ；
若 ，则 ， ，不符合题意；
当 时， ，则 ，
则 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为增函数，
所以 ，解得 ；
答案第8页，共6页
学科网（北京）股份有限公司
