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泸县五中高2021级高三10月考试
数学（理工类）
本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．全集 ，集合 ， ，则阴影部分表示的集合是
A． B． C． D．
2．复数 （ ， 为虚数单位），在复平面内所对应的点在 上，则
A． B． C． D．
3．若实数x，y满足约束条件 ，则z=3x+y的最大值为
A． B．3 C． D．4
4．函数 的大致图象是
A． B． C． D．
5．设 ， ，则“ '”是“ ”的
A．充要条件 B．充分条件但不是必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件 D．必要条件但不是充分条件
6．天文学中，用视星等表示观测者用肉眼所看到的星体亮度，用绝对星等反映星体的真实亮度.星体的视星
1
学科网（北京）股份有限公司等 ，绝对星等 ，距地球的距离 有关系式 （ 为常数）.若甲星体视星等为 ，绝对星
等为 ，距地球距离 ；乙星体视星等为 ，绝对星等为 ，距地球距离 ，则
A． B． C． D．
7．已知 为等边三角形， ，设点 ， 满足 ， ， 与 交于点 ，
则
A． B． C．1 D．2
8．将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，且 的图象
的一条对称轴是直线 ，则 的最小值为
A． B．2 C．3 D．
9．已知偶函数 在区间 上单调递增，且 ，则 满足
A． B．
C． D．
10．已知函数 ，其中 为函数 的导数，则
A．0 B．2 C．2020 D．2021
11．已知三棱锥 中，平面 平面 ，且 和 都是边长为2的等边三角形，则该
三棱锥的外接球表面积为
A． B． C． D．
212．已知函数 ，其中 ， ，且 ，若 对一切 恒成立，则
A． B． 是奇函数
C． D． 在区间 上有2个极值点
第II卷 非选择题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．曲线 与 轴所围成的图形面积为 ．
14．已知 中，内角 的对边分别为 ，且 ，则 .
15．已知 ，则 ．
16．在空间中，过 点作平面 的垂线，垂足为 ，记作： .关于两个不同的平面 ， 有如下四
个命题：
①若 ，则存在点 满足 .
②若 ，则存在点 满足 .
③若 ，则不存在点 满足 .
④若对空间任意一点 ，恒有 ，则 .
其中所有真命题的序号是 .
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。
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学科网（北京）股份有限公司17．（12分）已知函数 .
（1）求 单调递增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值.
18．（12分）已知曲线 在点 处的切线方程为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）判断函数 在区间 上零点的个数，并证明．
19．（12分）已知锐角三角形 的内角A，B，C所对的边分别记作a，b，c，满足 ， 且
．
(1)求 ；
(2)若点 ， 分别在边 和 上，且 将 分成面积相等的两部分，求 的最小值．
20．（12分）如图，在三棱柱 中，已知 底面 ， ， ， ，D为
的中点，点F在棱 上，且 ，E为线段 上的动点.
(1)证明： ；
(2)若直线 与 所成角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值.
21．（12分）已知函数 （ ）存在极值点．
4(1)求实数a的取值范围：
(2)若 是 的极值点，求证： ．
参考数据： ．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．如图，在极坐标系中，已知点 ， 曲线 是以极点 为圆心，以 为半径的半圆，曲线 是过
极点且与曲线 相切于点 的圆.
(1)分别写出曲线 、 的极坐标方程；
(2)直线 与曲线 、 分别相交于点 、 （异于极点），求 面积的最大值.
[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的定义域；
(2)设函数 的定义域为 ，当 时， ，求实数 的取值范围．
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