文档内容
专题 19 解三角形大题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 求面积 2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷
的值及范围或 2022·浙江卷、2019·全国卷、2017·全国卷
最值 2016·全国卷、2015·浙江卷、2015·全国卷
（10年7考） 2015·山东卷
2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全
国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、
考点2 求边
2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷、2020·全国 掌握正弦定理、余弦定理及其相
长、周长的值
卷、2020·全国卷、2018·全国卷、2017·全国 关变形应用，会用三角形的面积
及范围或最值
卷、2017·山东卷 公式解决与面积有关的计算问
（10年8考）
题，会用正弦定理、余弦定理等
2017·全国卷、2016·全国卷、2015·浙江卷
知识和方法解决三角形中的综合
2015·山东卷
问题，会利用基本不等式和相关
2024·天津卷、2023·天津卷、2022·天津卷、
函数性质解决三角形中的最值及
2021·天津卷、2021·全国新Ⅰ卷、2020·天津卷
范围问题
2020·浙江卷、2020·江苏卷、2019·江苏卷
考点3 求角和
2019·北京卷、2019·全国卷、2018·天津卷
三角函数的值 本节内容是新高考卷的必考内
2017·天津卷、2017·天津卷、2016·四川卷
及范围或最值 容，一般给以大题来命题、考查
2016·浙江卷、2016·浙江卷、2016·天津卷
（10年10 正余弦定理和三角形面积公式在
2016·北京卷、2016·山东卷、2016·四川卷
解三角形中的应用，同时也结合
考）
2016·江苏卷、2015·江苏卷、2015·天津卷
三角函数及三角恒等变换等知识
2015·四川卷、2015·湖南卷、2015·湖南卷 点进行综合考查，也常结合基本
2015·全国卷 不等式和相关函数性质等知识点
考点4 求三角 求解范围及最值，需重点复习。
形的高、中
2023·全国新Ⅰ卷、2018·北京卷、2018·全国卷
线、角平分线
2015·安徽卷、2015·全国卷
及其他线段长
（10年几考）
考点5 三角形 2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷、2016·四川
中的证明问题 卷2016·浙江卷、2016·山东卷、2016·四川卷
（10年4考）
2015·湖南卷
考点01 求面积的值及范围或最值
1．（2024·北京·高考真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）在 中，已知 ， ， .
(1)求 ；
(2)若D为BC上一点，且 ，求 的面积.
4．（2022·浙江·高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
5．（2019·全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
6．（2017·全国·高考真题） 的内角 的对边分别为 已知 .（1）求角 和边长 ；
（2）设 为 边上一点，且 ,求 的面积.
7．（2016·全国·高考真题） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
（1）求角C；（2）若 ， ，求 的周长.
8．（2015·浙江·高考真题）在 中，内角A，B，C所对的边分别为 .已知 .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
9．（2015·全国·高考真题）已知 分别是 内角 的对边， ．
（1）若 ，求
（2）若 ，且 求 的面积．
10．（2015·山东·高考真题）设 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角 中，角 的对边分别为 ,若 ,求 面积的最大值.
考点02 求边长、周长的值及范围或最值
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；(2)若 的面积为 ，求c．
3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，
为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边
长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
5．（2022·全国乙卷·高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的周长．
6．（2022·北京·高考真题）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
8．（2020·全国·高考真题） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
9．（2020·全国·高考真题） 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求 周长的最大值.10．（2018·全国·高考真题）在平面四边形 中， ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 .
11．（2017·全国·高考真题）△ABC的内角 的对边分别为 ,已知△ABC的面积为
(1)求 ;
(2)若 求△ABC的周长.
12．（2017·山东·高考真题）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3, ,S ABC=3,求A和
△
a.
13．（2017·全国·高考真题）△ABC的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求 ；
（2）若 ，△ABC的面积为2，求 ．
14．（2016·全国·高考真题） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 .
（1）求角C；（2）若 ， ，求 的周长.
15．（2015·浙江·高考真题）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，
= .
（1）求 的值；
（2）若 的面积为3，求 的值.
16．（2015·山东·高考真题） 中，角 所对的边分别为 .已知
求 和 的值.
考点03 求角和三角函数的值及范围或最值
1．（2024·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 的值．
2．（2023·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别是 ．已知 ．
(1)求 的值；(2)求 的值；
(3)求 的值．
3．（2022·天津·高考真题）在 中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知 .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
4．（2021·天津·高考真题）在 ，角 所对的边分别为 ，已知 ，
．
（I）求a的值；
（II）求 的值；
（III）求 的值．
5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点
在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
6．（2020·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）求 的值．
7．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
9．（2019·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b= ，cosB= ，求c的值；
（2）若 ，求 的值．
10．（2019·北京·高考真题）在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB= ．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B–C）的值．
11．（2019·全国·高考真题） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
12．（2018·天津·高考真题）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
.
（1）求角B的大小；
（2）设a=2，c=3，求b和 的值.
13．（2017·天津·高考真题）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ，
.
（I）求 的值；
（II）求 的值.
14．（2017·天津·高考真题）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， ，
.
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）求 的值.
15．（2016·四川·高考真题）在 ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 .
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若 ，求tanB．16．（2016·浙江·高考真题）在 ABC中，内角 所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B.
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cos B= ，求cos C的值．
17．（2016·浙江·高考真题）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）若 的面积 ，求角 的大小．
18．（2016·天津·高考真题）在 中，内角 所对的边分别为a,b,c，已知 .
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若 ，求sinC的值.
19．（2016·北京·高考真题）在 ABC中， (1)求B的大小；
(2)求 cos A＋cos C的最大值．△
20．（2016·山东·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝
.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cos C的最小值．
21．（2016·四川·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，求 .
22．（2016·江苏·高考真题）在 中，AC=6，
（1）求AB的长；
（2）求 的值.
23．（2015·江苏·高考真题）在 中，已知 .
（1）求 的长；
（2）求 的值.
24．（2015·天津·高考真题）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为
．(1) 求 和 的值；
(2) 求 的值．
25．（2015·四川·高考真题）如图，A，B，C，D为平面四边形ABCD的四个内角.
（1）证明：
（2）若 求 的值.
26．（2015·湖南·高考真题）设 的内角 的对边分别为 .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，且 为钝角，求 .
27．（2015·湖南·高考真题）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ，且 为钝角.
（1）证明： ； （2）求 的取值范围.
28．（2015·全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分 BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ,求 .
考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长
1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
2．（2018·北京·高考真题）在 中， ．
（1）求 ；
（2）求 边上的高．
3．（2018·全国·高考真题）在平面四边形 中， ， ， ， .（1）求 ；
（2）若 ，求 .
4．（2015·安徽·高考真题）在 中， ,点D在 边上， ，求 的
长.
5．（2015·全国·高考真题） 中，D是BC上的点，AD平分∠BAC， 面积是 面积的2倍．
(1)求 ；
(2)若AD＝1，DC＝ ，求BD和AC的长．
考点05 三角形中的证明问题
1．（2022·全国乙卷·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知
．
(1)若 ，求C；
(2)证明：
2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点
在边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
3．（2016·四川·高考真题）在 ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 .
（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若 ，求tanB．
4．（2016·浙江·高考真题）在 ABC中，内角 所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B.
（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若cos B= ，求cos C的值．
5．（2016·山东·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝
.
(1)证明：a＋b＝2c；
(2)求cos C的最小值．6．（2016·四川·高考真题）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，求 .
7．（2015·湖南·高考真题）设 的内角 的对边分别为 .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，且 为钝角，求 .
