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泸县五中高2021级高三上学期开学考试
文科数学
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
2．已知 ，则
A． B． C．0 D．1
3．从 ， ， ， ， 中任取两个不同的数，记为 ，则 成立的概率为
A． B． C． D．
4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=
A． B． C． D．
5．某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取9家企业，根据食品安全管理
考核指标对抽到的企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图．由茎叶图所给信息，可判断以下
结论中正确的是
A．若 ，则甲地区考核得分的极差大于乙地区考核得分的极差
B．若 ，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数
C．若 ，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差
D．若 ，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数
6．已知 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有
A．直径为 的球体 B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体 D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
1
学科网（北京）股份有限公司8．已知实数 满足 ，则 的最大值为
A． B． C． D．
9．在棱长为2的正方体 中，分别取棱 ， 的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点
G到平面 的距离为
A． B． C．1 D．
10．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，且 ，过P作
的垂线交x轴于点A，若 ，记椭圆的离心率为e，则
A． B． C． D．
11．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
12．若 时，关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出“ ”的一个充分不必要条件 ．
14．牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．
某农户种植牛膝的时间 （单位：天）和牛膝的根部直径 （单位： ）的统计表如下：
20 30 40 50 60
2
学科网（北京）股份有限公司0.8 1.3 2.2 3.3 4.5
由上表可得经验回归方程为 ，若此农户准备在 时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕
采收时间预计是第 天．
15．椭圆 过点 且上顶点到 轴的距离为1，直线 过点 与椭圆 交于A，
两点且 中点在坐标轴上，则直线 的方程为 ．
16．已知抛物线C： 的焦点为F，过点F作斜率大于0的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，
，则 的面积为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）某中学组织学生进行地理知识竞赛，随机抽取500名学生的成绩进行统计，将这500名学生成绩
分成5组：[50，60），[60，70），[70，80）， ，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，若
成等差数列，且成绩在区间 内的人数为120．
(1)求a，b，c的值；
(2)估计这500名学生成绩的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(3)由成绩在区间[90，100]内的甲、乙等5名学生组成帮助小组，帮助成绩在区间[50，60）内的学生A，B，其
中3人帮助A，余下的2人帮助B，求甲、乙都帮助A的概率．
3
学科网（北京）股份有限公司18．（12分）如图，在直角梯形 中， ， ， ， 为 的中点，沿
将 折起，使得点 到点 位置，且 ， 为 的中点， 是 上的动点（与点 ， 不
重合）.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）设三棱锥 和四棱锥 的体积分别为 和 ，当 为 中点时，求 的值
19．（12分）已知函数 ，其中 ，再从条件①、条件②、条件③这
三个条件中选择两个作为已知．条件①： ；条件②： 的最小正周期为 ；条件③： 的图象
经过点 ．
(1)求 的解析式； (2)求 的单调递增区间．
20．（12分）已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)证明：当 时， 成立.
21．（12分）在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足，线段 上一点 满足
4
学科网（北京）股份有限公司.记动点 的轨迹为曲线
(1)求曲线 的方程；
(2)设 为原点，曲线 与 轴正半轴交于点 ，直线 与曲线 交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与曲
线 交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，求证：直线 经过定点.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 ，（ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴非
负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
(2)若 是曲线 上一点， 是直线 上一点，求 的最小值．
23．（选修4-5 不等式选讲）
已知函数 .
（1）求不等式 的解集 ；
（2）证明：当 时， .
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