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泸县五中高2021级高三上学期开学考试
理科数学
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
2．已知 ，则
A． B． C．0 D．1
3．从 ， ， ， ， 中任取两个不同的数，记为 ，则 成立的概率为
A． B． C． D．
4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=
A． B． C． D．
5．如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为 ，记 次独立重复试验中出现“成功”的次数为 ，则
A． B． C． D．
6．在 的展开式中， 的系数为
A．120 B．84 C．210 D．126
7．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
8．教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书
中选出3本，则不同的选法种数为
A．84 B．42 C．41 D．35
1
学科网（北京）股份有限公司9．在棱长为2的正方体 中，分别取棱 ， 的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点
G到平面 的距离为
A． B． C．1 D．
10．已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，点P在椭圆C上，且 ，过P作
的垂线交x轴于点A，若 ，记椭圆的离心率为e，则
A． B． C． D．
11．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
12．若 时，关于 的不等式 恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．写出“ ”的一个充分不必要条件 ．
14．牛膝是苋科多年生药用草本植物，具有活血通经、补肝肾、强筋骨等功效，可用于治疗腰膝酸痛等症状．
某农户种植牛膝的时间 （单位：天）和牛膝的根部直径 （单位： ）的统计表如下：
20 30 40 50 60
0.8 1.3 2.2 3.3 4.5
由上表可得经验回归方程为 ，若此农户准备在 时采收牛膝，据此模型预测，此批牛滕
采收时间预计是第 天．
15．椭圆 过点 且上顶点到 轴的距离为1，直线 过点 与椭圆 交于A，
2两点且 中点在坐标轴上，则直线 的方程为 ．
16．已知等腰直角 的斜边 ，沿斜边的高线 将 折起，使二面角 为 ，则
四面体 的外接球的表面积为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求，真正让“人民至上”理
念落实落地，着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉，不断增强医疗服务的“深度”和“温度”.我市人
民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡，义诊暖人心”的活动.这6名医生中，外
科医生、内科医生、眼科医生各2名.
(1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率；
(2)设 表示选出的3人中外科医生的人数，求 的均值与方差.
18．如图，已知正三棱柱 中，点 分别为棱 的中点.
(1)若过 三点的平面，交棱 于点 ，求 的值；
(2)若三棱柱所有棱长均为2，求 与平面 所成角的正弦值.
19．某市为了解该市小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了50名小学生，统计了他们参加课
外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图，如图所示.
(1)由频率分布直方图估计小学生课外活动时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）近似服从正态分布 ，其中 为样本中课外活
3
学科网（北京）股份有限公司动时间的平均数.用频率估计概率，在该市随机抽取10名学生，记课外活动时间在 内的人数为X，
求X的数学期望（精确到0.1）.
参考数据：当t服从正态分布 时， ， ，
.
20．已知函数 .
(1)若 ，求 的值；
(2)证明：当 时， 成立.
21．在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 为垂足，线段 上一点 满足 .
记动点 的轨迹为曲线
(1)求曲线 的方程；
(2)设 为原点，曲线 与 轴正半轴交于点 ，直线 与曲线 交于点 ，与 轴交于点 ，直线 与曲
线 交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，求证：直线 经过定点.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（选修4-4 极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 ，（ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴非
4负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
(2)若 是曲线 上一点， 是直线 上一点，求 的最小值．
23．（选修4-5 不等式选讲）
已知函数 .
（1）求不等式 的解集 ；
（2）证明：当 时， .
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