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2025 — 2026 学年度上学期期末考试高三试题
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目 要求的.
的虚部为( )
1
A B C D
2.设全集U=R,A={x|x≤3,x∈N},B={x||x|≤2}, 则 ( )
A.A∩B={1,2} B.A∩C,B={2,3} C.AUB=B D.BCA
3.数据 30,31,32,33,35,35,37,38,38,a 的中位数是 35,则 a 的取值范围为(
) A.a>35 B.a≥36 C.a≥35 D.35≤a≤38
展开式的常数项为( )
A.2430 B.4860 C.4680 D.2340
5.已知等差数列{aₙ} 的前8项和为60,a₁+a₃=8, 则a₇=( )
D.11
A.8 B.9 C.10
6.已知圆C:x²+y²=8, 直线l:y=x+b.若圆C 上恰有3个点到直线L的距离等于 √ 2,则b的
值为
( )
A.±1 B.0 C.±2 D.±√2
,则
7.已知角α,β满足
C D
A B
高三数学 第1页 共4页8.正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2,E 为棱CC₁的中点，点B₁、A₁、C、E在球心为0
的球面 上，且该球面与棱B₁C₁交于点F(异于B₁ 、C₁两点),则△OEF的面积为( )
C
A
B.√6 D.√5
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在△ABC中，点D 在边 BC所在的直线上，且BD=4DC, 若AD=mAB+nAC, 则mn 的
值可能 为( )
D
A B C
10.已知抛物线C:y²=2px(p>0) 的焦点F 与椭圆 的一个焦点重合，过F 的直线
交C 于A,B 两点，交C 的准线于点P. 若 |AF|=3, 则下列说法中正确的有( )
A.抛物线C 的方程为：y²=4x B.|AB|=4
C.|PB|=|AB| D. △AOB的面积为
11. 已知数列{a。的通项公式为 aₙ=2"+1,n∈N, 在其相邻两项 a,ak+1 之间插人 2*
个 (-1)-2(k∈N.)得到新数列{b}, 记{b} 的前n项和为Sₙ, 则下列说法中正确的有( )
A.b₂₀=2 B.S₄-S₃0=41
C.a10位于数列{b} 中的第1032项 D.S2026=3360
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的解集为 _ ·
13.某书店计划进行促销活动，需从5本小说和4本传记中随机抽取3本书作为展示.在“抽
取的3 本书中至少有一本是小说”的前提下，“抽取的3本书全是小说”的概率是
14.已知定义在(0,+)上的函数f(x),满足f(x)-f'(x)>ex-e,且 f(1)=e+2, 则不等
式 ef(lnx)-e²Inx≥2x的解集为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，
15.在锐角△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知
(1)证明：B=2A;
(2)求 的取值范围.
16.目 前 ，AI赋能英文识别技术已从实验室的“概念验证”发展为改变人类生活的基础设施，随
着 大模型和多模态技术的融合，英文识别将不再是单一功能，也是智能系统理解世界的“耳
朵”和“眼 睛”,推动人机交互下从“命令执行”向“自然对话”演进.现甲、乙两名同学通过英文
指令与某AI智 能体人机交互共生成200篇文章.若生成的文章达到专业要求，不用进一步改良，
视为合格.现已知 甲同学生成的文章有80篇合格，占甲同学生成文章总数的 ,乙同学生成的
文章有一半合格.
(1)请根据以上数据填写下面的2×2列联表，并推断能否有95%的把握认为生成的文章是
否 合格与甲、乙(不同的)同学给出的指令有关?
生成的文章合格 生成的文章不合格 总计
甲同学
80
乙同学
总计
200
(2)经试验，若给出的指令够准确具体，该智能体生成文章合格的概率为 ,则在此条件下
从 该智能体生成的一批文章中随机调取3篇，请写出其中合格的篇数X的分布列，并算出期
望.
附 ： ,其中n=a+b+c+d(x² 结果精确到0.001).
P(x⁴≥h)
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
高三数学 第3页 共4页17. 如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中 ，CA=CB=CC₁=√3,∠ACB=∠ACC₁=120°,D为棱A₁B₁的
中
点，E 是棱AB上一点，且
(1)求证：平面ACC₁A₁⊥平面ABC;
(2)求点B 到平面C₁CE的距离；
(3)求二面角A₁-AC-D 的正弦值.
18.已知函数f(x)=axlnx,g(x)=ex²-ex.
(1)讨论函数f(x) 的单调性；
(2)令F(x)=f(x)+g(x), 当 a<-2e 时，证明函数F(x) 有唯一的极大值点 x 。,并 证
明
19.已知双曲线C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，它的虚轴长为2√2,离心率为3,直线
l 与 双曲线上支交于A,B两点，与渐近线交于M,N 两点(点A,M在第一象限，点B,N在第二
象限).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若点M 的横坐标为2,在线段AB 上取一点Q, 且满足|MAHQB|=|AQHMB|, 判断点Q
是 否总在某条定直线上，若定直线存在，求出直线方程，若不存在，说明理由；
(3)已知双曲线上点 ,n∈N ,在点P 处作双曲线的切线交
C 的渐近线于 E,G 两点，且|OE²+|oGP=3(b+-b。), 数列{cos²a}的 前n 项 和 为 S。,
求 证 ：2025-2026 学年度上学期期末考试高三试
题 数学参考答案
一.1. C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C7.A 8A
二.9. BC 10.ACD 11.ACD
三.12. 13. .(1,e)
14.解析： (x>0)
∴g(x) 在(0,+)上单调递减，
∴g(lnx)≥g(1), 又因为g(x) 在(0,+∞)上单调递减，
∴03.841, 所以有95%的把握认为生成文章是否合格与甲、乙(不同的)同学给出的指
令有关. … … 6分
(2)合格的篇数X的所有可能取值为0,1,2,3
由题意， … … … 8 分
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
… …
1315分
… ……
17.
证明：(1)取BC的中点F, 连CE 、EF 、DF
在△ABC中，
AC=BC=√3,∠ACB=120°,∠CBA=30° 由余弦定理
得：
∴AB=3
∴CE=BE,EFI BC.
又∵DEI BC,DE,EF c平面DEF,DE∩EF=E,
∴BC1 平面DEF … … 3分
∴BCI DF.
取A₁C₁中点G, 连接CG 、DG,D为A₁B₁ 中点
∵ ,四边形CFDG为平行四边形
∴DFII CG, ∴CG I BC
又因为在四边形AA₁C₁C 中，∠A₁AC=60°,AA₁=AC
∴CG I AC,
又∵AC∩BC=C,AC、BC C平面ABC,CGc 平面AA₁C₁C
∴CG1平面ABC
∴平面ACC₁A₁1 平面ABC. … … 6分
(2)因为AC=√3,AE=2,CE=1, 所以AC1 CE
如图，以C 为原点，CA,CE,CG 的方向分别为x轴，y 轴，z轴的正
方向. 建立空间直角坐标系，因为
CA=CB=CC₁=√3,∠ACB=∠ACC₁=120°设平面C₁CE的法向量m=(x,y,z)
由m·CC₁=m·CE=0,
令z=√3, 则m=(3,0,√3 …
… 8分
…10分
………
点B 到平面C₁CE 的距离
(3)由(2)中的空间直角坐标系可知，A(√3,0,0),c(0,0,0),
设平面ADC得法向量为n1=(x,y,z),
由n₁·CA=n₁·CD=0,
令z=1, 则n1=(0,-2,1),… …12
分 取平面A₁AC的法向量n2=(0,1,0)
…… …14分
设二面角A₁-A C-D 的平面角为锐角θ,
∴二面角
…… …15分
18.解：(1)f'(x)=a(lnx+1),(x>0) …… … … 1
分 当Inx+1>0 时， 当Inx+1<0 时，
当a<0 时， 上单调递增；
,f'(x)<0, ∴ 上单调递减.
当a=0 时，f'(x)=0,f(x) 无单调性
当a>0 时， 时，f'(x)<0, 上单调递减；
时 ，f'(x)>0,∴f(x) 在 上单调递增. …
…6 分
(2)F(x)=f(x)+g(x)=axlnx+ex²-ex,(x>0)
F'(x)=alnx+2ex+a-e …… … 7分
令φ(x)=F'(x), 时，
单调递减；时，φ(x)>0,F'(x) 单调递增. … … 8 分
,使F'(x₀)=0, 且x₀ 是F'(x 。)在 上唯一一个零点
时，F'(x)>0; 时，F'(x)<0 ………11
分 F(x) 在 上单调递增；在 上单调递减，
∴x₀ 是F(x) 在 上唯一的极大值点.
又因为在 上，F'(x)单调递增，
F(x)在此区间上无极大值点，故a<-2e 时，F(x)存在唯一的极大值点x₀. ………13 分
,F'(x₀)=0. 即alnxo+a+2ex₀-e=0, 有alnxo=e-a-2ex₀
……… … 16分
… … 17分
19.解：(1)设双曲线C的方程为：
∵2b=2√2,∴b=√2,∵e=√3, ∴c=√3a, ∴
所以双曲线方程为C: …… … 2分
( 2 ) 设A(x₁,y₁),B (x₂,y₂),Q(x,y), 因为点M 在第一象限内，所以M(2, √2)
由题意可 因为|MB|>|QB|, 因此λ>1,所以MA=λAQ,MB=λQB,
由MA=λAQ, 得(x₁-2,y₁- √2=λ(x-x1,y-y₁), 解得
所以 ,同理点B … … 4分
将A,B 两点代入双曲线方程为C: 1中，
得： 整理得：λx-√2λy+λ=0, 因为λ>1,所以x- √2y+1=0, 即点Q总在定直线x- √2y+1=0 上； … 6分
…
(3)因为P
在双曲线方程
双曲线上支方程为：
作双曲线切线，斜率
故切线方程为： … … 9分
与渐近线方程 x联立，解得
同理可求G
所以点P是点E和G的中点.
所以IOEI²+|0GI²=(OE+OG)²-20E ·OG=(20P)²-20E ·OG
=3(2bn+2)=3(bn+1-bn) …… …11 分
bn+1=3bn+2
bn+1+1=3bn+3=3(bn+1)
所以{bn+1} 是首项为b₁+1, 公比为q=3 的等比数
列，
b₁+1=2tan²a₁+1=3,bn+1=3·3n-1=3n
所以bn=3n-1,n∈N+
所 13分
…
构造函
因为 单调递减，y=-I n(x+1) 单调递减，
单调递减，(求导证明也可以)
x≥1 时，所
所 ,即即 [(n+1)!] … …15 分
又因
n ∈N+
综上： [(n+1)!]. …… …17 分
