2012年高考数学试卷（理）（广东）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科A卷） 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 5-6i 1．设i为虚数单位，则复数 = i A．6+5i B．6-5i C．-6+5i D．-6-5i 2．设集合U={1,2，3,4,5,6}，M ={1,2,4}则ð M = U A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6} uuur uuur uuur 3．若向量BA=(2,3)，CA=(4,7)，则BC = A．(-2,-4) B．(3,4) C．(6,10) D．(-6,-10) 4．下列函数中，在区间(0,+¥)上为增函数的是 1 1 A． y =ln(x+2) By =- x+1 C． y =( )x D． y = x+ 2 x ìy£2 ï 5．已知变量x,y满足约束条件íx+ y³1，则z =3x+ y的最大值为 ï x- y£1 î A．12 B．11 C．3 D．-1 6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为 A．12p B．45p C．57p D．81p 7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是 4 1 2 1 A． B． C． D． 9 3 9 9 a×b r r r r r r 8．对任意两个非零的平面向量a,b，定义a o b= ．若平面向量a,b满足 a ³ b >0，a与b的 b×b æ pö ìn ü r r 夹角qÎ ç è 0, 4 ÷ ø ，且a o b和b o a都在集合í î2 |nÎZý þ 中，则a o b= 1 3 5 A． B．1 C． D． 2 2 2 第1页 | 共9页二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9．不等式|x+2|-|x|£1的解集为___________． 1 10．(x2 + )6的展开式中x3的系数为__________．（用数字作答） x 11．已知递增的等差数列{a }满足a =1，a =a 2 -4，则a =________． n 1 3 2 n 12．曲线y = x3-x+3在点(1,3)处的切线方程为__________． 13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为_______． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中xoy中，曲线C 和曲线C 的 1 2 ìx=t ï ìx= 2cosq 参数方程分别为í （t为参数）和í （q为参数），则曲线C 和曲线C 的交点坐标为 1 2 îy = t ï îy = 2sinq ． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足ABC =30，过点 A做圆O的切线与OC的延长线交与点P，则PA= ． A P O C B 图3 第2页 | 共9页三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） p 已知函数 f(x)=2cos(x+ ) （其中>0,xÎR）的最小正周期为10p． 6 （1） 求的值； （2） 设a,bÎ  0, p , f(5a+ 5p )=- 6 , f(5b- 5p )= 16 ，求cos(a+b)的值．    2 3 5 6 17 （纯word版2011年高考数学广东卷首发于数学驿站：www．maths168．com） 17．（本小题满分13分） 某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是： [40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100], (1)求图中x的值; (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数 学期望． 18．（本小题满分13分） 如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA^平面ABCD，点E在线段PC上， PC ^平面BDE． （1）证明：BD^平面PAC ； （2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值． 第3页 | 共9页19．（本小题满分14分） 设数列{a }的前n项和为S ，满足2S =a -2n+1+1，nÎN*，且a ,a +5,a 成等差数列． n n n n+1 1 2 3 （1）求a 的值； 1 （2）求数列{a }的通项公式； n 1 1 1 3 （3）证明：对一切正整数n，有 + +×××+ < ． a a a 2 1 2 n 20．（本小题满分14分） x2 y2 2 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率e= ，且椭圆C上的点到点Q a2 b2 3 (0,2)的距离的最大值为3． （1） 求椭圆C的方程 （2） 在椭圆C上，是否存在点M(m,n)，使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2 + y2 =1相交于不同的两点A 、B，且DOAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的DOAB的面积；若不存在，请说 明理由． ） 21．（本小题满分14分） 设a<1，集合A={xÎR x>0},B={xÎR 2x2 -3(1+a)x+6a>0}，D= A B． I （1） 求集合D（用区间表示）； （2） 求函数 f(x)=2x3 -3(1+a)x2 +6ax在D内的极值点． 第4页 | 共9页2012广东高考数学（理科）参考答案 选择题答案：1-8： DCAAB CDC 填空题答案： æ 1 9. -¥,- 10. 20 11. 2n-1 12. y =2x+1 ç  è 2 13. 8 14. 1,1 15. 3 解答题 16. 1 （1）= 5 æ pö 6 3 （2）代入得2cos a+ =- Þsina= ç ÷ è 2ø 5 5 16 8 2cosb= Þcosb= 17 17  p ∵ a,bÎ 0,    2 4 15 ∴ cosa= ,sinb= 5 17 4 8 3 15 13 ∴ cosa+b=cosacosb-sinasinb= ´ - ´ =- 5 17 5 17 85 17. （1）由30´0.006+10´0.01+10´0.054+10x=1得x=0.018 （2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量的可能取值有0,1,2 C2 6 P=0= 9 = C2 11 12 C1C1 9 P=1= 9 3 = C2 22 12 C2 1 P=2= 3 = C2 22 12 6 9 1 1 ∴ E=0´ +1´ +2´ = 11 22 22 2 18. （1）∵ PA^平面ABCD ∴ PA^ BD 第5页 | 共9页∵ PC ^平面BDE ∴ PC ^ BD ∴ BD^平面PAC （2）设AC与BD交点为O，连OE ∵ PC ^平面BDE ∴ PC ^OE 又∵ BO^平面PAC ∴ PC ^ BO ∴ PC ^平面BOE ∴ PC ^ BE ∴ BEO为二面角B-PC-A的平面角 ∵ BD^平面PAC ∴ BD^ AC ∴ 四边形ABCD为正方形 ∴ BO= 2 OE PA OE 1 2 在DPAC中， = Þ = ÞOE = OC AC 2 3 3 BO ∴ tanBEO= =3 OE ∴ 二面角B-PC-A的平面角的正切值为3 19. （1）在2S =a -2n+1+1中 n n+1 令n=1得：2S =a -22 +1 1 2 令n=2得：2S =a -23+1 2 3 解得：a =2a +3，a =6a +13 2 1 3 1 又2a +5=a +a 2 1 3 解得a =1 1 （2）由2S =a -2n+1+1 n n+1 2S =a -2n+2 +1得 n+1 n+2 第6页 | 共9页a =3a +2n+1 n+2 n+1 又a =1,a =5也满足a =3a +21 1 2 2 1 所以a =3a +2n对nÎN*成立 n+1 n ∴ a +2n+1 =3  a +2n n+1 n ∴ a +2n =3n n ∴ a =3n -2n n （3） （法一）∵a =3n -2n =3-2 3n-1+3n-2´2+3n-3´22 +...+2n-1 ³3n-1 n 1 1 ∴ £ a 3n-1 n æ æ1ö nö 1´ç1- ç ÷ ÷ 1 1 1 1 1 1 1 ç è è3ø ÷ ø 3 ∴ + + +... £1+ + +...+ = < a a a a 3 32 3n-1 1 2 1 2 3 n 1- 3 （法二）∵a =3n+1-2n+1 >2´3n -2n+1 =2a n+1 n 1 1 1 ∴ < × a 2 a n+1 n 1 1 1 当n³2时， < × a 2 a 3 2 1 1 1 < × a 2 a 4 3 1 1 1 < × a 2 a 5 4 ……… 1 1 1 < × a 2 a n n-1 n-2 1 æ1ö 1 累乘得： < × ç ÷ a è2ø a n 2 第7页 | 共9页n-2 1 1 1 1 1 1 1 æ1ö 1 7 3 ∴ + + +... £1+ + ´ +...+ ´ < < ç ÷ a a a a 5 2 5 è2ø 5 5 2 1 2 3 n 20. 2 （1）由e= 得a2 =3b2，椭圆方程为x2 +3y2 =3b2 3 椭圆上的点到点Q的距离d = x2 +y-22 = 3b2 -3y2 +y-22 = -2y2 -4y+4+3b2 -b£ y£b 当①-b£-1即b³1,d = 6+3b2 =3得b=1 max 当②-b>-1即b<1,d = b2 +4b+4 =3得b=1（舍） max ∴ b=1 x2 ∴ 椭圆方程为 + y2 =1 3 1 1 （2）S = OA × OB sinAOB= sinAOB DAOB 2 2 1 当AOB=90o，S 取最大值 ， DAOB 2 1 2 点O到直线l距离d = = m2 +n2 2 ∴m2 +n2 =2 m2 又∵ +n2 =1 3 3 1 解得：m2 = ,n2 = 2 2 æ 6 2 ö æ 6 2 ö æ 6 2 ö æ 6 2 ö 所以点M的坐标为ç , ÷或ç- , ÷或ç ,- ÷或ç- ,- ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 2 2 2 2 2 2 2 è ø è ø è ø è ø 1 DAOB的面积为 2 21. （1）记hx=2x2 -31+ax+6aa<1 D=91+a2 -48a=3a-13a-9 1 ① 当D<0，即 0 ∴ 1ÏD,aÎD ∴ f x在D内有一个极大值点a ③ 当a£0，则aÏD 又∵h1=2-31+a+6a=3a-1<0 ∴ f x在D内有无极值点 第9页 | 共9页