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学年度第一学期四校联考（一）
2023~2024
数学试卷
命题学校：河源高级中学 命题：陈富先、谢璇 审题：颜贞
说明：本试卷共4页，22道题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写
在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非
答题区域均无效。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知全集U = R，集合A= { xx≥2或x≤−3 } ，B={ x 0≤x≤4 } ，则Venn图中阴影部分表示的集合为
（ ）
A.
[ 0,2)
B.
[ 0,3)
C.
(2,4 ] D.(3,4]
x2−3x+2
1
2．函数y = 的单调递增区间是（ ）
2
3 3
A. (−∞,1] B.[1,2] C.[ ,+∞) D.(−∞, ]
2 2
3．在等差数列{a }中，a ，a 是方程x2−8x−17=0的两个根，则{a }的前23项的和为（ ）
n 6 18 n
A. −184 B. −92 C.92 D.184
4．设命题甲：∀x∈R，x2 +2ax+1>0是真命题；命题乙：函数y =log x在(0,+∞)上单调递减是真
2a−1
命题，那么甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
( )
5．已知函数 f x =log (x−b)（a>0且a≠1）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）
a
A. a+b<0 B. ab<−1 C.0<ab <1 D.log b >0
a
试卷第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司x2 −ax+5,(x≤1) ( ) ( )
f x − f x
6．已知函数 f ( x ) = a 满足对任意实数x ≠ x ，都有 2 1 <0成立，则a的取值
,(x>1) 1 2 x −x
x 2 1
范围是（ ）
A. 0<a≤3 B. a≥2 C.a>0 D.2≤a≤3
7．若a=0.20.2，b=0.30.3，c=log 0.2，则（ ）
0.3
A. a>b>c B. b>a>c C.c>a>b D.c>b>a
−x2+4x,x≤4,
8．设函数 f (x)= 若关于x的方程 f (x)=t有四个实根x ,x ,x ,x
log
2
(x−4),x>4, 1 2 3 4
1
且x <x <x <x ，则x +x +4x + x 的最小值为（ ）
1 2 3 4 1 2 3 4 4
45 47
A. B. 23 C. D. 24
5 2
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．已知数列{a }的首项a =1，且a =2a +1，满足下列结论正确的是（ ）
n 1 n+1 n
A.数列{a }是等比数列 B.数列{a +1}是等比数列
n n
C.a =2n−1 D.数列{a }的前n项的和S =2n−n
n n n
a,a≤b
10．对任意两个实数a,b，定义min{a,b}= ，若 f ( x ) =4−x2，g ( x ) = x2，下列关于函数
b,a>b
F(x)=min { f (x),g(x)} 的说法正确的是（ ）
A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)=0有三个解
C.函数F(x)有3个单调区间 D.函数F(x)有最大值为4，无最小值
11．定义在R上的偶函数 f ( x ) 满足 f ( 2+x ) = f ( 2−x ) ，当x∈[ 0,2 ]时， f ( x ) =2−x，设函数
g ( x ) =e −x−（2 −2< x<6），则正确的是（ ）
A.函数 f (x)图像关于直线x=2对称 B.函数 f (x)的周期为6
C. f (7)=−1 D. f (x)和g(x)的图像所有交点横坐标之和等于8
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知函数 f ( x ) =ax(a>1)，g ( x ) = f ( x ) − f ( −x ) ，若x ≠ x ，则（ ）
1 2
A. f (x ) f (x )= f (x +x ) B. f (x )+ f (x )= f (xx )
1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( )
x +x g x +g x
C. xg(x )+x g(x )>xg(x )+x g(x ) D. g 1 2 ≤ 1 2
1 1 2 2 1 2 2 1 2 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．y= x+ 2x−1的值域为 ．
14．已知 f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， f (x)=x2−4x，则不等式xf (x)<0的解集为 ．
15．已知函数 f ( x ) =lg(ax−3)的图象经过定点(2,0)，若k为正整数，那么使得不等式2f ( x ) >lg ( kx2 ) 在
区间[ 3,4 ]上有解的k的最大值是 ．
16. 数列{a }满足a +(−1)na =3n+1，前8项的和为106，则a = _____.
n n+2 n 1
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
等比数列{a }中，a =1，a =4a ．
n 1 9 7
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）记S 为{a }的前n项和，若S =127，求m．
n n m
18．（本小题满分12分）
已知a，b为常数，且a≠0， f (x)=ax2+bx， f (2)=0.
( ) ( )
（1）若方程 f x −x=0有唯一实数根，求函数 f x 的解析式；
（2）当x≥ 2,a >0时，不等式 f ( x ) ≥2−a恒成立，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分12分）
ax+b 1 2
( )
已知函数 f x = 是定义域为（−1，1）的奇函数，且 f( )= .
1+x2 2 5
（1）求实数a，b的值；
( )
（2）判断 f x 在（−1，1）上的单调性，并用定义法证明；
( ) ( )
（3）解不等式： f t−1 + f t <0.
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学科网（北京）股份有限公司20．（本小题满分12分）
民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现
代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加
工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工x万件该品牌服装，需另投入 f (x)万元，
1
x2+2x,0<x≤10,
且 f (x)= 2 根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，
450
14x+ −115,10<x≤50.
x
可获得12元的代加工费.
（1）求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：
万件）的函数解析式；
（2）当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出
年利润的最大值.
21.（本小题满分12分）
在人教版高中数学教材选择性必修三中，我们探究过“杨辉三角”（如下图所示）所蕴含的二项式系数性
质，也了解到在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具。
（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出，并按原来的顺序排列可得一数列{a }：1，3，6，10，15， ，
n
……
请写出a 与a （n∈N*，n≥2）的递推关系，并求出数列{a }的通项公式；
n n−1 n
a
（2）设b = n ，n∈N*，证明：b +b +b ++b <2.
n (n+1)⋅2n−1 1 2 3 n
22.（本小题满分12分）
已知函数 f ( x ) = xlnx−x，g ( x ) =alnx−x2 +1.
( )
（1）求函数 f x 的最小值；
( )
（2）若g x ≤0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的值；
1 1 1
（3）证明： 1+ + + （其中e是自然对数的底数）.
e 2 3 2022 >2023
试卷第4页，共4页
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