广西柳州市2023-2024学年高三9月摸底考试数学答案(1)_2023年9月_029月合集_2024届广西柳州市高三9月摸底考试（全科）

柳州市 2024 届新高三摸底考试
数学参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A B B C B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求. 全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. ACD 10.AB 11.AC 12.ABC
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．
2
14．± 2 15．4

16． 2
2 3 3
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．(10分）解：（1）b2c2 a2bc 。
b2c2a2 bc 1
由余弦定理可得cosA   ，
2bc 2bc 2

又因为0 A，所以A  . …............................................4分
3
6
（2）由cosB ，0B，
3
3
所以sinB 1cos2B  ，.......................................................................5分
3
a b
在ABC中，由正弦定理可得  ，
sinA sinB
3
2
2sinA 2
所以a   3，..........................................................................7分
sinB 3
3
sinCsinABsinAcosBcosAsinB
3 6 1 3 3 2 3
     ，......................................................................9分
2 3 2 3 6
1 3 2 3
所以ABC的面积S  absinC  ...............................................10分
ABC 2 2
答案第1页，共5页
{#{QQABCQoAggAAAAAAAQhCAQHACEAQkBEACAoORFAAsAIAARFABCA=}#}18．(12分）解：（1）由题知a
4
a
1
14 ，S
3
14，设等比数列{a
n
}的公比为q，显然q1，
则有 .........................................................................................................2分
aq3a 14，①
 1 1
a
 1q3
 1 14，②
 1q
由①÷②得q11，所以q=2，代入①得
a 2
，.......................................................4分
1
所以 a  2n ..........................................................................................................................5分
n
2n，n为偶数
（2）由（1）可得b  ，..........................................................................7分
n n，n为奇数
所以
T b b b b b b (b b b )
2n 1 2 2n 1 3 2n1 2 4 2n
1352n1  222422n
1+2n1n 4  14n........................................................................................................11分
 
2 14
..........................................................................................................12分
1 4
 4n1n2
3 3
19．(12分）解：（1）证明：取AB 的中点M ，连接ME，MB，..............................1分
1 1
因为E，F 分别是棱AC ，BC的中点，
1 1
1 1
则ME∥BC ∥BF，ME BC  BCBF，
1 1 2 1 1 2
四边形MEFB为平行四边形，.......................................................................................3分
所以EF ∥MB，
EF 平面ABBA ，MB平面ABBA ，
1 1 1 1
EF ∥平面ABBA；.........................................................................................................5分
1 1
（2）解：在平面ACC A 中过点C 作COAC于O，连接OB，
1 1 1 1
平面ACC A 平面ABC，平面ACC A 平面ABC AC，
1 1 1 1
CO平面ABC，
1
答案第2页，共5页
{#{QQABCQoAggAAAAAAAQhCAQHACEAQkBEACAoORFAAsAIAARFABCA=}#}又因为AC2,ACC 60，
1
所以OC1,CO 3,CC 2,
1 1
因为点O为AC的中点，OB AC，故以O为原点，OB、OC、OC 分别为x,y,z轴建立
1
如图所示的空间直角坐标系............................................................................................7分
3 1 2 3
则B( 3,0,0)，C(0,1,0)，C (0,0, 3)，A(0,2, 3)，E(0,1, 3)，F( , ,0)，G(0, , )，
1 1
2 2 3 3
 
所以BC BC( 3,1,0),
1 1
 3 3  3 1 3
EF ( , , 3),GF ( , , ),
2 2 2 6 3

设平面EFG的法向量为n(x,y,z)，
 3 3
 x y 3z0
 2 2 4 2 3
则有 ，x z,y z ，
 3 1 3 5 5
x y z0

 2 6 3

所以取n(4,2 3,5)，...........................................................................................................10分
设直线BC 与平面EFG所成角为，
1 1
  |4 32 3| 159
则sin|cos n,BC |  .........................................................12分
1 1 161225 31 53
20．(12分）解：（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语，
若另一门相同的选择物理、历史中的一门，有C1种，在生物学、化学、思想政治、地理4
2
门中甲乙选择不同的2门，则C2C2 6，即2612种；
4 2
若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有A2C1A2 48种，
2 4 3
所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共124860种方法.............................4分
（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则X N
 240,602
，
由题知240，60，
-2240-120120
，+240+60300 ，
则 P120 X 3000.6827 0.95450.6827 0.8186 ，
答2案第3页，共5页
{#{QQABCQoAggAAAAAAAQhCAQHACEAQkBEACAoORFAAsAIAARFABCA=}#}所以 ，
50000.81864093
所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人；....................................8分
②不可信.
，
3240360420430
1P3≤X ≤3 10.9973
则PX≥3  0.00135，
2 2
5000名学生中成绩大于430分的约有
50000.001356.75
人，
这说明5000名考生中，会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本，
所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得430分以上的高分”，
说法错误，此宣传语不可信.....................................................................................................12分
21．(12分）解：（1）设椭圆C的左焦点为F，依题意得：FH FF
1 1
3 5
所以|FH |2 |FF|2|FH |2，而|FH | ,|FF|2所以|FH |
1 1 2 1 1 2
根据椭圆的定义得：2a|FH||FH|4，即a2又因为c1.......................................3分
1
所以b2 a2c2 3
x2 y2
所以C的方程为  1；..................................................................................................5分
4 3
(2)因为OQ//AP，所以A,O,Q三点不共线，所以设直线OQ的斜率为k，
则直线OQ的方程为ykx，
ykx
由 得：Q(4,4k) ..........................................................................................................6分
x4
又因为F(1,0)

所以FQ(3,4k) ....................................................................................................................7分
又因为OQ//AP
所以直线AP的方程为：y  k(x 2)，
答案第4页，共5页
{#{QQABCQoAggAAAAAAAQhCAQHACEAQkBEACAoORFAAsAIAARFABCA=}#}yk(x2)

由x2 y2 得：(34k2)x2 16k2x(16k2 12)0
  1
 4 3
16k2
所以x x  ，
A P 34k2
又因为点M 是AP的中点
x x 8k2
所以x  A P 
M 2 34k2
8k2 6k
所以y k(x 2)k( 2)
M M 34k2 34k2
8k2 6k
即M( , ) .........................................................................................................10分
34k2 34k2
 8k2 6k
所以OM ( , )
34k2 34k2
  24k2 24k2
所以FQOM    0
34k2 34k2
所以OM QF .....................................................................................................................11分
2
 1 1
故直线OM 与QF 的交点在以OF 为直径的圆上，且该圆方程为 x  y2 ．
 2 4
2
 1 1
即直线OM 与直线QF 的交点在某定曲线 x  y2 上．........................................12分
 2 4
22．(12分）解：（1）由题意：
2
当a1，f x2lnxx,f 'x 1 ...................................................................................2分
x
故 又f 11, f'11 ，........................................................................................................4分
故切线方程为 y1 x1,即xy20 .........................................................................5分
(2）由题意可得，2lnxax eax x2,即x2 lnx2  axeax ，
即x2 lnx2 eax+lneax
1
令 gxx+lnx ，因为gx1+ 0 所以 gx x+ln x在0,单调递增，.............7分
x
所以x2 eax,即a 2lnx 恒成立，只需a 

2lnx

...............................................................8分
x  x 
2lnx 2 2lnx max
构造函数hx ,h'x 
x x2
当x0,e时，h'x 0,yh x单调递增；
当xe，+时，h'x 0,yh x单调递减.......................................................................10分
则当xe时，hx he  2 , ...........................................................................................11分
max e
2  ..........................................................................12分
所以实数a的取值范围为

，+

e 
答案第5页，共5页
{#{QQABCQoAggAAAAAAAQhCAQHACEAQkBEACAoORFAAsAIAARFABCA=}#}