广西省2024届高中毕业班第一次摸底测试数学(1)_2023年10月_01每日更新_28号_2024届广西省高中毕业班第一次摸底测试

绝密★启用前 2024 届高中毕业班第一次摸底测试 数学 注意事项： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3.已知直线 ： （ ）和圆 ： ，则“ ”是“直线 与圆 相切”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 5.若函数 （ ）在 内有且仅有一个零点，则 在 上的最大值与 最小值的和为（ ） 学科网（北京）股份有限公司A.1 B. C. D.5 6.已知 的外心为 ，且 ， ，向量 在向量 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7.已知 是定义在 上的偶函数，对任意实数 满足 ，且 在 上 单调递增，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8.如图所示， ， 是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点， 的右支上存在一点 满足 ， 与双曲线 左支的交点 满足 ，则双曲线 的离心率为（ ） A. B.2 C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目 要求的全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一 年级选派了10名同学参赛，且该10名同学的成绩依次是：70，85，86，88，90，90，92，94，95，100.则 下列说法正确的有（ ） A.中位数为90，平均数为89 B.70%分位数为93 C.极差为30，标准差为58 D.去掉一个最低分和一个最高分，平均数变大，方差变小 10.已知 （ ， ），则下列结论正确的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司A. 的最小值为16 B. 的最小值为9 C. 的最大值为1 D. 的最小值为 11.已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是 （ ） A. B.函数 的图象关于 对称 C.函数 在 的值域为 D.要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位 12.如图，平面 平面 ，四边形 是正方形，四边形 是矩形，且 ， ，若 是线段 上的动点，则（ ） A. 与 所成角的正切值最大为 学科网（北京）股份有限公司B.在 上存在点 ，使得 C.当 为 上的中点时，三棱锥 的外接球半径最小 D. 的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ， ，则 ______. 14.1886年5月1日，芝加哥的二十一万六千余名工人为争取实行八小时工作制而举行大罢工，经过艰苦的流 血斗争，终于获得了胜利.为纪念这次伟大的工人运动，1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表 大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天 只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率是______. 15.已知点 在直线 上运动，点 是圆 上的动点，点 是圆 上的 动点，则 的最大值为______. 16.若 是区间 上的单调函数，满足 ， ，且 （ 为函数 的导数），则可用牛顿切线法求 在区间 上的根 的近似值：取初始值 ，依次求出 图象在点 处的切线与 轴交点的横坐标 （ ），当 与 的误差估计 值 （ 为 （ 的最小值）在要求范围内时，可将相应的 与 的近似值.用上述方法 求方程 在区间 上的根的近似值时，误差不超过0.01，则满足条件的 的最小值为 ______，相应的 值为______.（本题第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共6小题，井70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在① ；② ；③ 这三个条件中 任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 满足______. 学科网（北京）股份有限公司（1）求角 ； （2）若 ， 的外接圆周长为 ，求 边上的中线长. 18.（12分）设数列 的前 项和为 ，已知 ， （ ）. （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ， ，都有 ， 求 的取值范围. 19.（12分）后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减税增效政策.某地区 对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得500位在职员工的个人所得税（单位：百 元）数据，按 ， ， ， ， ， ， ， ， 分成九组， 制成如图所示的频率分布直方图： 假设每个组内的数据是均匀分布的. （1）求这500名在职员工的个人所得税的中位数（保留到小数点后一位）； （2）从个人所得税在 ， ， 三组内的在职员工中，采用分层抽样的方法抽取了10人， 现从这10人中随机抽取3人，记年个税在 内的员工人数为 ，求 的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，记年个税在 内的员工 人数为 ，求 的数学期望与方差. 20.（12分）如图，在矩形 中， ， ，点 是边 上的动点，沿 将 翻 折至 ，使二面角 为直二面角. 学科网（北京）股份有限公司（1）当 时，求证： ； （2）当 时，求二面角 的正弦值. 21.（12分）已知平面上动点 到点 与到圆 ： 的圆心 的距离之和等于该圆 的半径.记 的轨迹为曲线 . （1）说明 是什么曲线，并求 的方程； （2）设 ， 是 上关于 轴对称的不同两点，点 在 上，且 异于 ， 两点， 为原点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，试问 是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不 是定值，请说明理由. 22.（12分）已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）若 在区间 上存在唯一零点 ，求证： . 数学参考答案 1. D 【解析】 ， ，所以 . 故选：D. 2. A 【解析】由 ，得 ， 所以 的虚部为 . 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司3. C 【解析】圆 ： 的方程可化为 ，其圆心坐标为 ， 半径为 ， 当 时，直线 ： ，圆心到直线的距离 ，此时直线 与圆 相切，故充分性成立； 当直线 与圆 相切时，圆心到直线的距离 ，所以 ，故必要性成立， 所以“ ”是“直线 与圆 相切”的充要条件. 故选：C. 4. B 【解析】由 可得， ，整理可得， ，所以有 ，所以 ， 所以， . 故选：B. 5. C 【解析】 ， ， ， . 因为函数 在 内有且仅有一个零点，所以函数 在 上先减后增，有极小值 ，解得 ，零点为 . 在 上先增后减，且 ，所以函数 在 上的最大值与最小值的和为 .选C. 学科网（北京）股份有限公司6.A 【解析】在 中，由 ，得点 为线段 的中点，而 为 的外心， 则 ，即有 ，又 ，则 为正三角形，即 ， ， 于是 ， ， 所以向量 在向量 上的投影向量为 .故选：A. 7. A 【解析】 是偶函数，所以 . ， ，故 ， 的周期为2. 所以 ， ， ， 又因为 ， ， ，故 ， 又 在 上单调递增，则 在 上单调递增，则 在 上单调递减， 所以 ，即 . 故选：A. 8. D 【解析】在 中，由正弦定理得， ，① 在 中，由正弦定理得， ，② 因为 ，所以 ， 所以①式与②式相比，得 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 学科网（北京）股份有限公司设 （ ），则 . 由双曲线的定义得 ， ， 因为 ，所以 ，所以 ，解得 ， 在 中，由勾股定理得 ，所以 ，得 ， 所以 ，得 . 故选：D. 9. ABD 【解析】对于选项A，10个分数从小到大排列后第5个和第6个数的平均值为 ， 即中位数是90，这10个数的均值为 分，A正确； 对于选项B，由于 ，所以70%分位数是第7个数92与第8个数94的平均数， 即 ，所以B正确； 对于C选项：这10个数的极差为30，方差为 ，标准差为 ，所以C错误； 对于D选项：去掉70和100后，平均数为 ， 方差为 ， ， ，所以D正确. 故选：ABD. 10. ABD 【解析】对于A，由 （ ， ）得 ， 学科网（北京）股份有限公司则 ，得 ，当且仅当 即 ， 取等号时，故A正确； 对于B， ，当且仅当 ， 即 ， 时，等号成立，故B正确； 对于C， （ ， ），故 ， ， 则 ，故C错误； 对于D， （ ， ）， ， ， ， ， ，则当 ，即 时， 取最小值 ，故D正确. 故选：ABD. 11. ACD 【解析】对A，根据函数 （ ， ， ）的部分图象，可得 ， ，所以 ，利用五点法作图，可得 ，可得 ，所以 ，故A正确； 对B，令 ，得 ，故函数 的图象不关于 对称，故B错误； 当 时， ，则 ， 学科网（北京）股份有限公司故函数值域为 ，故C正确； 对D， ，把其图象向左平移 个单位可得 ， 故D正确. 故选：ACD. 12.AC 【解析】因为平面 平面 ，且交线为 ， 面 ， ， 所以 面 .因为 面 ，所以 . ，故 与 所成角为 ， ， 当 和 重合时， 最长，且为5，故 最大为 ，故选项A正确. 假设在 上存在点 ，使得 . 因为 面 ， 面 ，所以 . 又 ， ， 面 ，所以 面 . 又因为 面 ，所以 . 设 ， ， ，则 ， ， 在直角 中， ，可得方程 ，该方程无解，故假设不成立， 即在 上不存在点 ，使得 ，故选项B错误. 设 的外接圆半径为 ，因为 面 ，故三棱锥 的外接球半径 满足： . 设 ， ， ，由正弦定理得 ， 学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ， 因为 ，故 ，故 为锐角. 当 时， 为 的中点， 取等最小值， 取得最大值， 取得最大值， 取得最小 值，三棱锥 的外接球半径 取得最小值，故选项C正确. ， ， 设 ， ， ，如图， 设 关于 轴对称的点为 ，则 ， 直线 方程为 ，令 得 ， 即当 时， ， ， 的最小值为 ，故D错误. 故选：AC. 13. 7 【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 （ ）， 则由 ，得 ，即 ， 所以 . 学科网（北京）股份有限公司故答案为：7. 14. 【解析】记 “甲在五一长假期间值班2天”， “甲连续值班”， 则 种， 种，所以 . 所以已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率为 . 故答案为： . 15.8 【解析】如图所示，圆 的圆心为 ，半径为3， 圆 的圆心为 ，半径为1， 可知 ， ， 所以 ， 若求 的最大值，转化为求 的最大值， 设 关于直线 的对称点为 ，设 坐标为 ， 则 解得 故 ， 学科网（北京）股份有限公司因为 ，可得 ， 当 ， ， 三点共线，即 点为 时，等号成立. 所以 的最大值为 . 故答案为：8. 16.2 【解析】设 ，则 ， ， ， ，当 时， ，故可用牛顿切线法求 在区间 上的根 的近似值. 由于 在 单调递增，所以 ，所以 的最小值为2，即 . 图象在点 处的切线方程为 ， 化简得 ，令 ，则 . 由于 ，所以 ， ， ， ， ， . 学科网（北京）股份有限公司故可将 作为 的近似值，对应的，满足条件的 最小值为2， . 故答案为：2 . 17.解：（1）选①， ， 由正弦定理可得 ， 又因为 ，可得 ，即 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ， 所以 ，解得 ； 选②，由 ，得 ， 所以 ， 因为 ，所以 ； 选③，由正弦定理可得 ， 因为 ，所以 ， 即 ，因为 ，所以 . 学科网（北京）股份有限公司（2）由 ，由余弦定理知 ， 又因为 ，所以 ，所以 ， 如图，取 中点 ，连接 ， 记 的外接圆的半径为 ，则 ，解得 ， 根据正弦定理可得 ，所以 ，即 . 根据余弦定理可得 ， 所以 ，故 边上的中线长为 . 18.解：（1）证明：由 ， ，得 （ ），两式相咸，得 . 因为 ，由 ，得 ，所以 ， 所以 对任意 都成立. 所以数列 为等比数列，首项为1，公比为2，故 . （2）由（1）知， ， 所以数列 前 项和 . 学科网（北京）股份有限公司又数列 是递增数列，所以 ，故 . 19.解：（1）设中位数为 ，前四个矩形的面积之和为 ， 前五个矩形的面积之和为 ，所以可设中位数为 ， 由中位数的定义可得 ，解得 . （2）由频率分布直方图，得这500名在职员工的个人所得税在 ， ， 三组内的员工人 数分别为： ， ， ， 若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从在 内的员工中抽取 人， 从这10人中随机抽取3人，则 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 的分布列为 0 1 2 3 数学期望 . （3）员工的个人所得税在 内的概率为 ， 从该地区所有在职员工中随机抽取100名员工，个人所得税在 内的员工人数为 ， 则 ， ， . 20.解：（1）证明：在矩形 中， ， ， ，所以 ， 在直角三角形 中， . 在直角三角形 中， ， 所以 ，所以 ， 学科网（北京）股份有限公司又二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 . （2）如图，在平面 内，过点 作 垂直于 ， 因为平面 平面 ，所以 平面 ， ， ， 两两垂直. 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，令 ，则 ， 所以 是平面 的一个法向量. 设平面 的法向量 ， 则 令 ，则 ， ， 所以 是平面 的一个法向量. 学科网（北京）股份有限公司所以 ， 二面角 的正弦值为 . 21.解：（1）依题意， ，圆 的半径为4. 于是 ，且 ，故 为椭圆. ， ， . 所以 的方程为： . （2）设点 ， ， ， ， ， 则直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ， 联立 消去 并整理可得 ， 因为点 在椭圆 上，则直线 与椭圆 必有公共点， 所以， ， 学科网（北京）股份有限公司同理可得 . 所以， ， ， 化简可得 . 当 时，则 ，此时 ； 当 时， ， ， 三点重合，此时， ， . 综上所述， ，即 为定值4. 22.解：（1）由题设 . （ⅰ）当 时，令 ，则 . 若 ，则 ， 在 上递减； 若 ，则 ， 在 上递增. （ⅱ）当 ，令 ，则 ， . ①当 ，即 时， 若 ，则 ， 在 上递减； 若 或 ，则 ， 在 ， 上递增. ②当 ，即 时， 若 ，则 ， 在 上递减； 学科网（北京）股份有限公司若 或 ，则 在 ， 上递增. ③当 ，即 时，则 ， 在 上递增. 综上，当 时， 的递减区间为 ，递增区间为 ； 当 时， 的递减区间为 ，递增区间为 ， . 当 时， 的在 上单调递增； 当 时， 的递减区间为 ，递增区间为 ， . （2） ， ， . 当 时， 在 上恒成立， 故 在 上递增，则 ，故不可能有零点. 当 时， 在 上递减，在 上递增，且 ， 所以，在 上 ，无零点，即 ，且 趋向于正无穷时 趋向正无穷， 所以，在 上存在唯一 ，使 . 要证 ，只需 在 上恒成立即可. 令 ， ，则 . 令 ，则 ，即 在 上递增， . 所以 ，即 在 上递增， . 所以 在 上恒成立，得证. 学科网（北京）股份有限公司故 . 学科网（北京）股份有限公司