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2024 高三第二次考试数学试题参考答案
一、单选题
1．【详解】对于集合 ， ；对于集合 ，
，所以 .故选：A
2．【详解】 ,
则 ，即z的共轭复数在复平面内所对应的点位于第三象限，故选：C
3．【详解】四张电影票编号为1，2，3，4，任取2张的基本事件有：12，13，14，
23，24，34，共6种，其中相邻的是12，23，34共3种，所求概率为 ．故选：
A.
4．【详解】由 ，
得 ，故 是以 为周期的函数，
则 ，又当 时， ，则
，
所以 .故选：C.
5．【详解】 ， ， ， 成等比数列，故 ， ， ， ， 成等差数列，故
，因为 ， ，所以
，当且仅当 时等号成
立，故 的最小值是4.故选：D
6．【详解】若“ ，使得 ”为假命题，可得当 时，
恒成立只需 又函数 在 上单调递增，所以
学科网（北京）股份有限公司.故选：B
7．【详解】由题设， ，即 在R上为奇
函数；在 上 ，故 在 上递增，易知： 在R上递
增，
又 ，则 ，即 上 ；
令 ，则 ，故 上 ， 递增； 上 ， 递
减，而 ， ，此时 ；综上， 的最小值为 .故选：A
8．【详解】 ，而 ，
令 ，则 ， ，
∴ 时 ， 递减；而 ， ，
∴ 上 ，即 递减，则在 上 ，
∴由 ，则 ，即 .综上， .故选：D
二、多选题
9．【详解】对A：由 可得 ，
所以 或 ，所以A错误.对B：由 可得 ，所以 ，
所以 是 的充分不必要条件，所以B正确.
对C：由 ，当且仅当 时取等号，
但是 ，所以 ，所以C错误.
对D：若当 时，不等式 恒成立，①当 时，不等式为 恒成
试卷第2页，共3页立，满足题意；②当 时，只要 ，解得 ；
所以不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为 ，D错.选：ACD
10．【详解】A. ，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为 ，所以 ，
所以 ，故错误.选：BC
11．【详解】 为奇函数， ，且 ，函数 关
于点 ， 偶函数， ，函数 关于直线 对称，
，即 ，
，
令 ，则 ， ， ，故 的
一个周期为4，故A正确；则直线 是函数 的一个对称轴，故B不正确； 当
时， ， ，
，
又 ， ，解得 ， ， ，
当 时， ，故C不正确；
，故D正确.故选：AD.
学科网（北京）股份有限公司12【详解】 ，
∴ 上 ，即 上 递减，则 ，∴A错误，B正确；
令 ，则在 上 ，即 递减，
∴ 时，有 ，C正确；
，则 等价于 ， 等价于 ，
令 ，则 ， ，
∴当 时， ，则 递增，故 ；
当 时， ，则 递减，故 ；
当 时，存在 使 ，∴此时， 上 ，
则 递增， ； 上 ，则 递减，∴要使
在 上恒成立，则 ，得 .综上，
时， 上 恒成立， 时 上 恒成立，∴若
，对于 恒成立，则 的最大值为 ， 的最小值为1，正确.故
选：BCD
三、填空题
13．【详解】 在 处的切线与直线 垂直， ，
又 ， ，解得： .答案为： .
14.【详解】因为 是函数 的两个零点，
可得 ，由 ，可得
试卷第4页，共3页，即 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以
15.【详解】设该污染物排放前需要过滤的次数为 ，则由题意得
，即 ，所以 ， ，
，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 的最小值为8，
16.【详解】∵ ，①
∴ ，又函数 、 分别是定义在 上的偶函数、奇函数，
∴ ，②由①②得 ， ，
不等式 为 ，（*），
设 ，这是一个增函数，当 时， ，
（*）变为 ， ，
若存在 ，使不等式 成立，则为：存在 ，使
成立，由于 ，当且仅当 ，即 时等号
成立，∴ 的最小值是 ．∴ ．
四、解答题
17．（满分10分）
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：（1）设等差数列 的公差为 ，由已知得
------2分
解得 ， ------4
分
所以数列 的通项公式为 ； ------5分
（2）解：由（1）得 ， ------6分
所以
------8分
------10分
18．（满分12分）
【详解】（1）由 ，
因为 ， ------2分
所以 ， ------4分
------6分
（2）∵ ， ，∴ ， ------7分
试卷第6页，共3页∴ ， ------9分
， ------11分
∴ ． ------12分
19．（满分12分）
【详解】（1）根据题中信息可得如下 列联表：
地 总计
地
长纤维
短纤维
总计
， ------4分
注意：填表1分，计算结果准确值2分，保留小数点后三位的结果1分，共4分
因此，在犯错误概率不超过 的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”； -----5
分
（2） 根棉花纤维中“短纤维”共 根，其中， 地的“短纤维”共 根，
所以，随机变量 的可能取值有 、 、 ，
， ------6分
， ------7分
， ------8分
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
所以， ； ------10分
学科网（北京）股份有限公司（3）从 地棉花（大量的棉花）中任意抽取 根是“长纤维”的频率是 ，所以，
，故 . ------12分
20．（满分12分）
【详解】（1）解：已知 ①，
则 ， ------1分
且 ②，
，得 ，整理得 ， ------2分
∴ ， ， ， ，
由累乘法可得 ， ------4分
又 ， ，符合上式， ------5分
所以数列 的通项公式为 . ------6分
（2）由（1）可知 ， ，
因为 ，所以 ， ------7分
则数列 是首项为1，公比为 的等比数列， ------8分
∴ ， ------10分
，即 ，得证. ------12分
21．（满分12分）
试卷第8页，共3页【详解】（1）（i）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量
由已知结论可知， ------2分
由附①数据知，
------4分
（ii），由附②知，事件“ ”为小概率事件，
由题25个面包质量的平均值 ，
小概率事件“ ”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报 ------6
分
（2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为 ，则 的取值
为0，1，2
设 “所取两个面包来自第 箱” ，所以 ------7
分
设 “所取两个面包有 个黑色面包” ，由全概率公式
， ------8
分
， ------9分
， ------10分
所以黑色面包个数 的分布列为
0 1 2
所以 ------12分
22．（满分12分）
【详解】（1）设 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ------1分
故 在 上单调递减．
因为 （1） ， ------2分
所以当 时， ；当 时， ；当 时， ．
即当 时， ； ------3分
当 时， ； ------4分
当 时， ． ------5分
（2）①因为 ，所以 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增， ------6分
故 ．
因为 有两个零点，所以 ，即 ．
因为 ， ， ------7分
所以当 有两个零点时， 的取值范围为 ． ------8分
②证明：因为 ， 是 的两个零点，
不妨设 ，则 ．
因为 ， ， ------9分
所以 ， ，
即 ， ， ------10分
则 ，即 ，
试卷第10页，共3页即 ．
因为 ，所以 ，则 ，即 ． ------12
分
参考答案，仅
供参考
若
有错误，敬请谅解！
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