数学答案_2023年7月_01每日更新_31号_2023届浙江省七彩阳光新高考研究联盟高三上学期返校联考_浙江省七彩阳光新高考研究联盟2022-2023学年高三上学期返校联考数学

2022 学年第一学期浙江省七彩阳光新高考研究联盟返校联考 高三数学学科 参考答案与[评分细则] 选择题部分 (共 60 分) 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.答案：B 提示： 高三数学学科 答案与解析 第1页 共12页 x 2  1 ，解得 − 1  x  1 ，. M =  x − 1  x  1  1 1 .； x  ，解得x ， 2 4 N =  x x  1 4  ，所以 M N =  x 1 4  x  1  . 2.答案：A 提示：设 z = a + b i ， ( 3 − 4 i ) z = ( 3 − 4 i ) ( a + b i ) = 3 a + 4 b + ( 3 b − 4 a ) i = 2 5 ，所以 3 a + 4 b = 2 5 , 3 b − 4 a = 0 ，解得 a = 3 , b = 4 . z = 3 + 4 i, z = 3 - 4 i ,所以z+z =6. 3.答案：C 0 .4  0 .7 + 0 .6  0 .9 = 0 .8 2 . 4.答案：D 提 示 ： 高 峰 时 段 电 费 为 5 0  0 .5 6 8 + 1 5 0  0 .5 9 8 + 5 0  0 .6 6 8 = 1 5 1 .5 ， 低 谷 时 段 电 费 为 5 0  0 .2 8 8 + 1 0 0  0 .3 1 8 = 4 6 .2 ，共计 1 5 1 .5 + 4 6 .2 = 1 9 7 .7 . 5.答案：C 提示：设 A A 1 = m ， A B = n 则 A E = a = m + 1 2 n + c ， A F = b = n + 1 2 m .所以 n = b − 1 2 m ， a = m + 1 2  b − 1 2 m  + c 4 2 4 ，所以m= a− b− c. 3 3 3 6.答案：B 提示：设 f ( x ) 的最小正周期为T.因为 f ( x )  向右平移 个单位后的图象与原函数图象重合，所 3 以 3 k T , k  =  Z .因为 T 2 a  = ，所以 a = 6 k , k  Z .因为 f (x)=asin(ax),a0的极大值和极小值 分别为a,−a，所以2a15，即a7.5.所以满足条件的a =6. max 7.答案：C   2 2 提示：由不等式x0, ,xsinx可得 sin ，即ac；  2 21 21高三数学学科 答案与解析 第2页 共12页 b − a = ln 2 2 5 1 − 2 2 1 = ln  1 + 2  2 2 1  − 2 2 1 ， 1 设 f (x)=ln(1+2x)−x(0x ）， 2 b − a = f  2 2 1  2 1−2x ， f(x)= −1= ， 1+2x 1+2x 因为 0  x  1 2 , f  ( x )  0 ，所以 f ( x ) 在  0 , 1 2  上单调递增， 所以 x   0 , 1 2  , f ( x )  f ( 0 ) = 0 ，所以 f  2 2 1   0 ，即 b  a . 所以 b  a  c . 8.答案：B 提示:设 E , F 分别在 A B , C D 上，且 E F ⊥ A B ， E F ⊥ C D ， 因为 A B ⊥ C D , A B ⊥ E F , E F C D = F ,所以 A B ⊥ 面 E C D 所以 V A B C D = V A − C E D + V B − C E D = 1 3 A E  S △ C E D + 1 3 B E  S △ C E D = 1 3 A B  S △ C E D ， 所以 V A B C D = 1 3 A B  S △ C E D = 1 3 A B  1 2  C D  E F = 1 6 E F .要求四面体 A B C D 的体积最大，即求线段 E F 的最大.设 A B , C D 的中点分别是 G , H ,因为 A B ⊥ O G , C D ⊥ O H , A B = C D = 1 ,所以 O G = O H = 2 3 .所以在 △ O G H 中 G H  O G + O H , G H  3 ， 因为 G H = G E + E F + F H ,所以 ( G H ) 2 = ( G E + E F + F H ) 2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 因为EF ⊥ AB,EF ⊥CD,AB⊥CD，所以 GH = GE + EF + FH 所以 ( EF )2 = ( GH )2 −(GE)2 − ( HF )2  ( GH )2 ,当 E , G 和H,F 均重合时取等 1 3 所以EF GH  3, V = EF  . ABCD 6 6 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.BCD10.答案：AD 提示： 高三数学学科 答案与解析 第3页 共12页 g  ( x ) = 1 + ln x ，因为 x  1 ，所以 g  ( x ) = 1 + ln x  0 ，即 g ( x ) 在 ( 1 , +  ) 上单调递增.选项 A 正确. f  ( x ) = ln x + x 1 − ( ln ln x ( ) x x 2 + 1 ) = x ln x x − ( x ( x + + 1 ) 1 ( ) ln ln x ( x 2 ) + 1 ) .因为 g ( x ) = x ln x 在 ( 1 , +  ) 上单调递增， 1  x  x + 1 ，所以 g ( x )  g ( x + 1 ) ， 所以 f  ( x ) = ln x + x 1 − ( ln ln x ( ) x x 2 + 1 ) = x ln x x − ( x ( x + + 1 ) 1 ( ) ln ln x ( x 2 ) + 1 )  0 ，即 f ( x ) 在在 ( 1 , +  ) 上单调递减.选项 B 错误.要比较 l n e , 1  ，即比较  ln , e   的大小，即比较 ln , e ln e   的大小.因为 g ( x ) = x l n x 在在 ( 1 , +  ) 上 单 调 递 增 ， e   所 以 g ( ) g ( e )   ， 即 l n e 1    . 选 项 C 错 误 . 因 为 f ( x ) = l n ( l x n + x 1 ) = l o g x ( x + 1 ) ， f ( x ) 在在 ( 1 , +  ) 上单调递减，所以 f ( 2 )  f ( 3 ) ，即 l o g 2 3  l o g 3 4 ,选项 D 正确. 11.答案：AC 提示：设 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , l : x = m y + a ,因为 O A ⊥ O B ，所以 O A  O B = 0 ， 所以 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ，因为  y x 2 = = m 2 y p x + a ，所以 y 2 − 2 p m y − 2 p a = 0 ， 所以 y + y =2pm,y y =−2pa.因为y2 =2px,y2 =2px ,所以 y2y2 =4p2xx ， 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 x 1 x 2 = y 4 2 y 1 p 222 = a 2 ， 所以xx +y y =a2 −2pa=0，解得a=2p.所以x=my+2p，所以直线l过x轴上的定点(2p,0)， 1 2 1 2 A选项正确. AB= 1+m2 y −y = 1+m2 (y +y )2 −4y y =2p m4+5m2+4， 1 2 1 2 1 2因为 高三数学学科 答案与解析 第4页 共12页 m 2   0 , +  ) ，所以 A B  2 p 4 = 4 p ，B选项错误.设 l 与 x 轴的交点为C，因为OD⊥DC, O C 为定值 2 p ，所以 D 在以CO为直径的圆上运动，C选项正确. 因为在 R △t O C D 中， O D  O C ,且当 A B ⊥ O C 时， O D = O C ，所以 O D 最大值为 2 p , D 选项错误. 12.答案：ABC 提示：设AB 的中点为G ，连接RG,CG，因为RG FC ，RG=2FC ,所以RGFC 为梯形.延长 1 1 1 1 1 1 R F , G C 1 交于点 H ，连接 E H ，交 C D 于点 1 1 K ，因为 H R F , R F    ，所以 H.因为 K E H , E H    ,所以 K.设 J , M 分别是 A A 1 , B C 的中点，因为 R J F K , R M E K ,所以 R , J , F , E , K , M 共面，且均在内.所以与正方体的棱有 R , M , F , K , E , J 六个交点， A 选项正确. 因为正六边形 R M F K E J 的边长为 2 3( )2 ，所以 S =6 2 =3 3 ， RMFKEJ 4 C 选项正确.因为 B 1 D ⊥ A C , B 1 D ⊥ A D 1 ,AC RM,JE AD ,所以 1 B 1 D ⊥ J E , B 1 D ⊥ R M ， J E , R M 为相交直线，所以 B 1 D  ⊥ ， B 选项正确. 延长JE,FK交于点K,因为 N  J E , J E  面ADAD ,所以N面ADAD ，同理N面CDCD ，因 1 1 1 1 1 1 为面CDC D 面ADAD =DD ，所以NDD ,即 1 1 1 1 1 1 D D 1 N  = ， 设 B 1 D 的中点为L,则L为 J F 的中点，即 B 1 D L  = .因为 B 1 D  ⊥ ，所以  D N L 为 D D 1 与的所 DL 3 成角.sinDNL= = ,D选项错误. DN 3非选择题部分 （共 90 分） 三．填空题：本题共4个小题，每小题 高三数学学科 答案与解析 第5页 共12页 5 分，共 2 0 分. 13.答案：一次函数且斜率k满足 k  1 均可. 提示：设 f ( x ) = k x + b 因为  x 1 , x 2  R ， f ( x 1 ) − f ( x 2 )  x 1 − x 2 ，所以  x 1 , x 2  R ， x 1  x 2 时 f ( x 1 x ) 1 − − f x 2 ( x 2 )  1 . 所以 k 1. 14.答案：−3.2 提示：由统计数据表得x =1,y =3, ˆb = ( x 1 ( x − 1 x − ) x ( ) y 2 1 + − ( y x ) 2 + − x ) + 2 ( + x 5 − + x ( ) x ( 5 y − 5 − x ) y 2 ) = − 3 .2 . 15.答案： 2 解析：因为 f(x)=3x2 −6x+9，对称轴为 x = 1 ，所以 f ( x ) 的对称中心为 ( 1 , f ( 1 ) ) ，即(1,11).因 为 f  ( x ) = 3 x 2 − 6 x + 9 = 3 ( x − 1 ) 2 + 6  0 ， 所 以 f (x) 在 R 上 单 调 递 增 . 所 以 方 程 f ( a ) = 7 , f ( b ) = 1 5 的解 a , b 均有且只有一个，因为 f ( a ) + f ( b ) = 2 f ( 1 ) = 2 2 ，所以 ( a , 7 ) , ( b ,1 5 ) 关于对称中心对称，所以 a + b = 2 . 16.答案： x 4 2 − y 4 2 = 1 x2 − y2 =1 提示： 得， y=kx+m ( k 2 − 1 ) x 2 + 2 k m x + m 2 + 1 = 0 ， 因为 y = k x + m 与双曲线相切于 A 点，所以  = ( 2 k m ) 2 − 4 ( k 2 − 1 ) ( m 2 + 1 ) = 0 ， x A = − k k 2 m − 1 ，  = 0 简得m2 =k2 −1. y A = k x A + m = k − 2 m − 1 ,所以过点 A 且与l垂直的直线为 y = − 1 k  x + k k 2 m − 1  − k m 2 − 1 ， 所以 B  − k 2 2 m − k 1 , 0  , C  0 , − k 2 2 m − 1  ， 4m2k2 4k2 4m2 4 所以x2 = = ,y2 = = ， D ( k2 −1 )2 k2 −1 D ( k2 −1 )2 k2 −1 x 2D − y 2D = k 4 2 2 k − 1 − k 2 4 − 1 = 4 x2 y2 所以点D(x,y)的轨迹是 − =1. 4 4四.解答题：本题共 高三数学学科 答案与解析 第6页 共12页 6 个小题，共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解：（Ⅰ）因为 a = 1 , ( 1 + b ) ( s in A − s in B ) = ( c − b ) s in C ， 所以 ( a + b ) ( s in A − s in B ) = ( c − b ) s in C ，所以由正弦定理得 ( a + b )  2 a R − 2 b R  = ( c − b ) 2 c R , ……3 （ 2 R 不写出来，同样给3分，有利用正弦定理角化成 边的思想，但部分出错，给2分） a2 −b2 =c2 −bc，所以 c o s A = b 2 + 2 c 2 b c − a 2 = 1 2 ， A 3  = . ……5 （Ⅱ）因为 a 2 − b 2 = c 2 − b c ， a = 1 ，所以b2 +c2 =1+bc. 因为 b 2 + c 2  2 b c ，所以 1 + b c  2 b c ，解得 b c  1 ， ……8 所以 S △ A B C = 1 2 b c s in A  1 2  2 3 = 4 3 ……10 细则：第1问：如果答案正确，有过程，就给5分，只有正确答案，没有过程给2分； 如果答案错误，出现式子 a 2 − b 2 = c 2 − b c 给4分，当作学生已经用过正弦定理，只是没写出来； c o s A 算错，但出现式子 c o s A = b 2 + 2 c 2 b c − a 2 给1分。 第2问：（1）答案正确，没有过程给3分；基本不等式等号成立的条件不写不扣分； 答案错误，只出现 b 2 + c 2 = 1 + b c 给1分；b2 +c2 2bc给1分；bc1给1分； S △ A B C = 1 2 b c s in A 给 1分； （2）用三角形的外接圆，转化为求三角形高的最大值，得出正确答案，同样给5分； 如果答案错误，有几何法的意识给2分；求出外接圆半径 R = 3 3 给1分，高的最大值为 2 3 给2 分。 18． 解：（Ⅰ）连接CO并延长交AB于点 E ，连接VE. 因为O为△ABC的垂心，所以CE⊥ AB. 因为 V C ⊥ V A ,V C ⊥ V B , 所以 V C ⊥ 面 V A B .所以 V C ⊥ A B ……3 因为 V C C E = C ,所以AB⊥面 V E C .VO面VCE, 所以 A B ⊥ V O . ……6（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，面 高三数学学科 答案与解析 第7页 共12页 V O C 把三棱锥 V − A B C 分成两个三棱锥 A − V C E , B − V C E . 因为两个三棱锥 A − V C E , B − V C E 的体积相等，所以 A , B 到面 V C E 的距离相等，即 E 为 A B 的中 点. 因为 V E ⊥ A B ,所以 V A = V B . ……8 因为 A B ⊥ 面 V C E ，所以  B V E 为 V B 与面 V O C 所成的角，  B V E = 3 0 ， ……9 因为 V C ⊥ V A ,V C ⊥ V B ， 所以所求平面 V A C 与平面 V B C 所成二面角的平面角为  A V B ，且  A V B = 6 0 ， 所以平面 V A C 与平面 V B C 所成二面角的余弦值为 1 2 . ……12 （Ⅱ） 方法二：以 E 为原点建立直角坐标系， →E B , E → C 方向分别为 x 轴和 y 轴正方向. B ( a ,0 ,0 ) , V ( 0 , b , c ) ,面 V E C 的一个法向量 →n = (1 ,0 ,0 ) → ， 则有 BV =(−a,b,c) |a| 1 sin30 = cos BV,n = = ， a2 +b2 +c2 2 b 2 + c 2 = 3 a 2 ，又因为， V E 2 = b 2 + c 2 = 3 a 2 , E B 2 = a 2， V B = 2 ，所以 3 a 2 + a 2 = 4 ，得 a = 1 , 因为VC=2,CE= 7,VE= 3，面 V E C ⊥ 面ABC， 所以在三角形 V E C 2 3 3 中，c= ,b= ，……9 7 7 3 2 3 所以B(1,0,0),C(0, 7,0),V(0, , ),A(−1,0,0), 7 7 → → 3 2 3 所以BC=(−1, 7,0),BV =(−1, , ), 7 7 ( )  4 7 2 3 AC= 1, 7,0 ,CV =0,− ,  得面 VBC 的一个法向量为    7 7 高三数学学科 答案与解析 第8页 共12页 →m = ( 2 1 , 3 , 2 ) ，面VAC的一个法向量为 n = ( − 2 1 , 3 , 2 ) ，设所求角为，则 | c o s | | | m m | n | | n | 1 2  = → →   → → = ， 因为二面角 B − V C − A 为锐二面角，所以 c o s = 1 2  .……12 细则：第1问：出现 C E ⊥ A B 给1分；出现 V C ⊥ V A ,V C ⊥ V B , 所以 V C ⊥ 面VAB给1分； 出现 V C ⊥ A B 给1分，得出 A B ⊥ 面 V E C 给2分，结论 A B ⊥ V O 给1分； 第2问：出现E为 A B 的中点给1分；得出 V A = V B 给1分；得出  B V E 为 V B 与面 V O C 给 1分；出现平面 V A C 与平面 V B C 所成二面角的平面角为  A V B 给1分，  A V B = 6 0 给1分； 得出 1 2 给1分。 方法2：建系正确给1分；计算点坐标都对给2分，部分错误给1分；两个法向量正确各给1 分，出现 | c o s | | | m m | n | n | | = 1 2  = → →   → → 给1分。 19．解： （Ⅰ） a 1 n1 a + n 1 − − 1 1 = 3 a + n 4 a n 1 a n 1 − − 1 1 = 1 1 − a 4 a n − a a n n n = 1 4 ， ， 1 −1=1 ……3（递推关系代入1分；化简得出 a 1 1 4 给2分） 所以数列  1 a n − 1  是以 1 为首项， 1 4 为公比的等比数列. ……4（得出结论1分） （Ⅱ） 1 a n − 1 = 1   1 4  n − 1 ,所以 1 a n = 1 +  1 4  n − 1 ， ……6（两个式子各给1分） 1 1 1 1 1 1 n−1 4 41 n 所以 + + + =n+1+  + +  =n+ −   ， a 1 a 2 a n 4 4 3 34 ……9（有过程，答案正确给3分； 答案错误给2分） 4 41 n 4 41 n n+ −   100，设c =n+ −   ，因为c 为递增数列，（判出递增数列给1分，不用证 3 34 n 3 34 n 明） 1 1 41 99 1 41 1 c 98 99+ 3 ,c 99 =100+ 3 − 3  4   100+ 3 − 3  4   =100，所以n max =98 . ……12（c 98 ,c 99 代入验 证给1分，得出n =98给1分） max20． 解：（Ⅰ）甲比赛成绩有 高三数学学科 答案与解析 第9页 共12页 1 0 次，大于等于 2 .2 8 m 的有2次，（答案错误，出现10次，2次其中一个， 给1分） 1 所以甲获得优秀奖的概率为 . （答案正确就给2分） 5 ……2 （Ⅱ） X 的可能取值为 0 ，1 ， 2 ， 3 ， ……3 X = 0 时，没有人获得优秀奖， P ( X = 0 ) = 1 8 0  3 6  2 4 = 1 5 ， 同理 P ( X = 1 ) = 1 2 0  3 6  2 4 + 8 1 0  3 6  2 4 + 8 1 0  3 6  2 4 = 9 2 0 ， P ( X = 3 ) = 1 2 0  3 6  2 4 = 1 2 0 , P ( X = 2 ) = 1 − P ( X = 0 ) − P ( X = 1 ) − P ( X = 3 ) = 1 3 0 X 0 1 2 3 P 1 5 9 2 0 1 3 0 1 2 0 ……7（每个取值的概率各给1分） 所以 E ( X ) = 9 2 0 + 2  1 3 0 + 3  1 2 0 = 6 5 . ……8（结论正确给1分） （Ⅲ）丙跳出 2 .3 7 并获得冠军概率为 1 4 ，跳出 2 .3 2 并获得冠军的概率为 1 4  5 6 = 5 2 4 ，所以丙获得 冠军的概率估计值为 1 2 1 4 ，同理乙获得冠军的概率估计值为 1 5 2 ,甲获得冠军的概率估计值为 1 8 所以丙获得概率的估计值最大. ……12（甲，乙，丙获得概率的取值各给1分，结论正确给1分） 21． 2x−1 解：（Ⅰ）当a =1时， f (x)=(2x−1)lnx−x+1， f(x)=2lnx+ −1（求导正确给1分） x 因为 f ( 1 ) = 0 , f  ( 1 ) = 0 ，所以 f (x)在 ( 1, f (1)) 处的切线方程为y=0.（出现 y = 0 就给 2 分，答 案错误，出现 f ( 1 ) = 0 , f  ( 1 ) = 0 其中一个给1分） ……3 （Ⅱ）当 f ( x ) 有两个零点时，求 a 的取值范围. a=0时， f (x)=2xlnx−x， f (x)只有一个零点x= e；（出现a=0给1分） ……5 a a a a0时， f   = 0，此时x = 不是 f (x)的零点.（给1分） 2 2 2高三数学学科 答案与解析 第10页 共12页 a  0 时， f ( x ) = ( 2 x − a )  l n x − 2 x x − − a a  ，令 g ( x ) = l n x − 2 x x − − a a ，由题意可知， f (x) a 有两个零点等价于g(x)在x0且x  时有两个零点.（1分，转化成其他函数同样给分） 2 …7 因为 g  ( x ) = ( 4 x x − ( 2 a x ) ( − x a − ) 2 a ) ，若 a  0 ，则 g  ( x )  0 ， g ( x ) 单调递增， g ( x ) 最多有一 个零点，因此， a  0 .(求导正确给1分，出现 a  0 给1分） ……9 若 a  0 ，当 x   0 , a 4  或 x  ( a , +  ) 时， g  ( x )  0 ，g(x)单调递增；当 x   a 4 , a 2  或  a 2 , a  时g(x)0， g ( x ) 单调递减.（单调性判断正确1分） 因为 x → 0 + 时， g ( x ) → −  − a ；x→   时， 2 g ( x ) → −  ； x →  a 2  + 时， g ( x ) → +  ； x → +  时， g ( x ) → +  . 且 g  a 4  = 0 与 g ( a ) = 0 不同时成立. 所以，当 g  a 4   0 且 g ( a )  0 或 g  a 4   0 且 g ( a )  0 时， g ( x ) 在 x  0 且 x  a 2 时有 两个零点. 由 g  a 4  = l n a 4 − 3 2 及g(a)=lna得 0  a  1 3 或a4e2时，函数g(x)在 x  0 a 且x  时 2 有两个零点. 因此，当 f (x)有两个零点时， a 的取值范围为 ( 0 , 1 )  4 e 32 , +   .  3  （出现(0,1)， 4e2,+其中一个，给1分）   ……1222. 解：（Ⅰ）以长轴和短轴为对角线的四边形面积为 高三数学学科 答案与解析 第11页 共12页 S = 1 2  2 a  2 b = 2 a b ，从而 2 a b = 4 b 2 ， a = 2 b ，  3 因为A1, 在椭圆上，所以   2   1 a 2 + 4 3 b 2 = 1 ，解得a =2,b=1， 所以椭圆方程为 x 4 2 + y 2 = 1 .（答案正确，有过程给3分；答案错误，出现上述式子中任何一个给 1分） ……3 （Ⅱ）设 B ( m , n ) , B C , B D 的中点分别是 E , F ， E ( x 1 , y 1 ) , F ( x 2 , y 2 ) ， 则 C ( 2 x 1 − m , 2 y 1 − n ) , D ( 2 x 2 − m , 2 y 2 − n ) . 因 为 B C , B D 均 与 椭 圆 相 切 于 E , F 点 ， 所 以 B C : x 14 x + y 1 y = 1 , B D : x 24 x + y 2 y = 1 .因为 B ( m , n ) 在 B C , B D 两直线上，所以  x x m 14 m 24 + + y n 1 y n 2 = = 1 1 .所以 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) 在 直线 m 4 x + n y = 1 上，即直线 E F 的方程为 m 4 x + n y = 1 .……5（设出关键点坐标给 1 分，EF 直线方 程正确给1分） 联立  m x 42 x 4 + + n y y 2 = = 1 1 得  4 n 1 2 6 + n m 2 2  x 2 − 2 m n 2 x + 1 n 2 − 1 = 0 ，所以 x 1 + x 2 = 4 n 8 2 m + m 2 , x 1 x 2 = 1 6 4 ( 1 2 n − + n m ) 2 2 ， 8n y + y = ，（韦达定理正确1分） 1 2 4n2 +m2 当直线CD斜率存在时，直线 C D : y = y x 2 2 − − y x 1 1  x − 2 x 1 + 2 x 2 2 − 2 m  + 2 y 1 + 2 2 y 2 − 2 n = − m 4 n x + 8 − m 2 4 − n 4 n 2 ，（CD直线方程1分） y= Ax+B m 8−m2 −4n2  设A=− ,B= ,x2 得 4n 4n  + y2 =1  4  1 4 + A 2  x 2 + 2 A B x + B 2 − 1 = 0 ， 因为CD与椭圆C相切，所以=4A2B2 −4   1 + A2   ( B2 −1 ) =0,化简得B2 =4A2+1. 4 m 8−m2 −4n2 代入A=− ,B= 得， 4n 4n 高三数学学科 答案与解析 第12页 共12页 ( 8 − m 2 − 4 n 2 ) 2 = 4 ( m 2 + 4 n 2 ) .（化简正确1分） ……8 因为 B(m,n) 在椭圆 C 1 : x 4 2 y 2  + = 上，所以 m 2 4 n 2 4  + = ，代入得 ( 8 4 ) 2 4 ( 4 )   − = ，解得 4 , 1   = = （舍）.所以 4  = ，此时 A m 4 n , B 8 m 2 4 n 4 n 2 8 4 4 n 2 n  = − = − − = − = − ， C D 8m 8m 1 中点x +x −m= −m= −m=− m， 1 2 4n2 +m2 4 2 方程  1 4 + A 2  x 2 + 2 A B x + B 2 − 1 = 0 −2AB 1 的解为x= =− m，所以 1  2 2 +A2  4  4  = 时， C D 与椭圆C 相 切时切点为 C D 的中点.所以 4  = 满足条件.（出现 ( 8 4 ) 2 4 ( 4 )   − = 给1分， 4  = 给1分，检验 CD中点与切点重合给1分） ……11 当直线CD斜率不存在时，显然可得=4（CD斜率不存在给1分）. ……12