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★秘密·2022年8月19日16：00前
重庆市 2022-2023 学年（上）8 月月度质量检测
高三数学答案及评分标准
2022.08
【命题单位：重庆缙云教育联盟】
1．C 2．A 3．A 4．D 5．B
6．A
【详解】
， ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
由正弦定理得 的面积 ，
，将 看成整体并利用二次函数性质得，当 即 a=2时， 的面积S 有
最大值为 . 故选：A .
7．C
【详解】
随机变量 ，则 ，
因 最大，则有 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ， ，
整理得 ，解得 ，
而 ，则 ，所以 .
故选：C
8．B
【详解】
由题意知： ， ， ；
设 ，则 ，当 时， ， 在 上单调递增，
，即 ，又 ， ，即 ；
设 ，则 ；
令 ，则 ， 当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， ， 在 上单调递减， ，
即 ， ，即 ；综上所述： .
故选：B.
9．AC 10．BD
11．ACD
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
令 ，则 ，因为 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ，
即 ，所以 单调递增，所以A正确，B不正确；
由函数 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，所以函数 的单调递增区间为 ，所以C正确；
设 ，则
注意到 时 ，进而 单减
由 知 时“ ，即 .”
时 单减，而 ，所以D正确.故选：ACD.
12．AD
【详解】
设过点 的直线与函数 的图像相切时的切点为 ，则 ，
因为 ， ，所以切线方程为 ，又 在切线
高三数学答案 第 3 页 共 12 页
学科网（北京）股份有限公司上，所以 ，整理得 ，
令 ，则过点 的直线与函数 的图像相切的切线条数即为直线 与曲线
的图象的公共点的个数，因为 ，
令 ，得 ，所以，当 时， ， 单调递减，当 时， ，
单调递增，当 时， ， 单调递减，因为 ， ， ，
所以，函数 的图像大致如图
由图可知当 时，直线 与曲线 的图像没有公共点，即 ，
当 或 时，直线 与曲线 的图像有1个公共点，即 ，
当 时，直线 与曲线 的图像有2个公共点，即 ，
当 时，直线 与曲线 的图像有3个公共点，即 ，
对于A，当 ，此时 ，则 符合题意，故A正确；
对于B，当 时， ，故B错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于C，当 时， ，则 ，故C错误；
对于D，当 或 时， ，则当 时， ，故D正确.
故选：AD.
13． 14．2
15．
【详解】
由 ，可得 ，令 ，
由题意知恰有两个整数，使 成立，因为 ，由 ，可得 ，
所以当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，且 ，直线 恒过点 ，
且斜率为 ，
结合图象可得 ，即 ，解得 ，
即 的取值范围是 .故答案为； .
16．
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是 .
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排
法唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边
（排法唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边
（排法唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右
边（排法唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右
边（排法唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在
右边（排法唯一），所以方法数有 种.
所以该验证码的中间数字是7的概率为 .
故答案为：
17．
(1)解： ，
因为函数 在 处取得极大值为2，………………………………………1分
所以 ，解得 ，………………………………………………………………3分
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学科网（北京）股份有限公司经检验符合题意，所以 ；……………………………………………………………………4分
(2)解： ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上递增，在 上递减，
又 ，
所以当 时， ，…………………………………………………………7分
对于区间 上任意两个自变量的值 都有 ，
则 ，…………………………………………………………………………………9分
所以 ，所以实数 的最小值为4．……………………………………………………………………10分
18．
(1)由上表知，乘客花费时间t小于 的人数有 人，………………………………1分
故在沙坪坝站上车的乘客中任选一人，估计该乘客花费时间t小于 的概率 .…………3分
(2)设中位数为 ，因为花费时间t小于12分钟的频率为 ，花费时间t小于18分钟的频率为
，所以 ，………………………………………………………………………………6分
故由 ，解得 ，即估计所有在沙坪坝站上车的乘客花费时间t的中
位数为 分钟.………………………………………………………………………………………………8分
(3)由题意，样本数据中 的平均数 ，……………………………………10分
方差 .…………………………………………12分
19．
(1)取 中点M，连接 ……………………………………………………………………………2分
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学科网（北京）股份有限公司由 ，可得四边形 为平行四边形，则
由 ，可得四边形 为平行四边形，则
则 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ；……………………5分
(2)
取AA，CC 中点G，H，连接DG，CB ，BH，HD，……………………………………………………6分
1 1 1 1
因为四边形ADHF为平行四边形，所以AF//DH
因为四边形AFBG为平行四边形，所以GB//AF，所以GB //DH
1 1 1
所以GDHB 即为过点D长方体截面，……………………………………………………………………9分
1
∵DG//AE， 平面AEC， 平面AEC，∴DG//平面AEC
1 1 1 1
∵DH// C E， 平面AEC， 平面AEC，∴DH//平面AEC
1 1 1 1
又∵ ，∴平面DHB G//平面AEC.
1 1
………………………………………………………………………………12分
20．
(1)设 ，则 ，所以 点轨迹方程为： ．…………4分
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学科网（北京）股份有限公司(2)显然直线 不垂直于 轴，
故设 ： ， ，……………………………………………………………………6分
代入 并整理得： ，
…………………………………………………………………………………………8分
∴
，
整理得： ，……………………………………………………………………10分
若 ，此时 过 ，不合题意；
若 ，即 符合题意，
故直线 的斜率为 ．……………………………………………………………………………………12分
21．
(1)由题设, 服从参数为 的两点分布, .…………………………2分
……………………………………………………4分
(2)记 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”;
记 表示事件: “甲投中花球”, 则
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学科网（北京）股份有限公司………………………………………………6分
于是 ……………………………………………………………………………8分
(3)由题设 值可取 , 则
……………………………………10分
于是 ……………………………………………………………………12分
22．
(1)解：因为 ，所以 ，设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，…………………………………………………3分
则 ，因为 ，
所以 ．………………………………………………………………………………………………4分
(2)解：令 ， ，
则 ，设函数 ，得 ，…………………………5分
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，………………………………………………6分
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学科网（北京）股份有限公司， ，
所以 ，使得 ．
又 ．
．
所以 ，使得 ．
所以函数 的单调性及极值情况如下表：
x
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
……………………………………………………………………………………………………………9分
因为 ，所以只需证明 ．
由 ，得 ，
所以 ．
令 ， ，
因为 在 上单调递减，
所以 ，…………………11分
所以 对于 恒成立，即 对于 恒成立…………………………12分
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