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高三数学考试
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在毎小题给出的四个选项中, 只有一项是
符合题目要求的.
1. 设全集 ,集合 ,则图中阴影部分表示的集合为
A.
B.
C.
D.
2. 已知复数 , 则 的共轭复数
A. B. C. D.
3. 已知向量 ,若 ,则
A. B. C. 1 D. 2
4. 一封闭的正方体容器 分别是 和 的中点,由于某种原因,
处各有一个小洞,当此容器内存水的表面恰好经过这三个小洞时,容器中水的上表面形状是
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
5. 若关于 的不等式 的解集是 ,则 的最小值为
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
6. 香农定理是所有通信制式最基本的原理,它可以用香农公式 来表示,其中 是
信道支持的最大速度或者叫信道容量, 是信道的带宽 是平均信号功率( ), 是平均噪声功
率( ).已知平均信号功率为 ,平均橾声功率为 ,在不改变平均噪声功率和信道带宽的前
提下,要使信道容量增加到原来的2倍,则平均信号功率需要增加到原来的
A. 1.2倍 B. 12 倍 C. 102 倍 D. 1002 倍
7. 甲乙丙等七人相约到电影院看《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，若甲乙两人必须相邻,
且丙坐在七人的正中间,则不同的坐法的种数为
A. 240 B. 192 C. 96 D. 48
8. 若直线 是曲线 与 的公切线,则
学科网（北京）股份有限公司A. B. 1 C. D. 2022
学科网（北京）股份有限公司二、选择题: 本题共4小题, 每小题 5 分, 共20分. 在毎小题给出的四个选项中,有多项是符合题
目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. “方程 表示椭圆”的一个充分条件是
A. B. C. D.
10. 已知函数 的部分图象如图所示.将函数 的图象向右
平移 个单位长度,再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数 的
图象, 则
A.
B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 对称
D. 函数 的最小值为
11. 在正四棱台 中, ,则
A. 该棱台的高为 B. 该棱台的表面积为
C. 该棱台的体积为 D. 该棱台外接球的表面积为
12. 已知数列 的前 项和为 ,且 或 的概率均为 .设 能被3整除的
概率为 , 则
A. B.
C. D. 当 时,
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知 为三角形的内角,且 ,则 _____.
14. 已知圆 与抛物线 的准线相切,则 _____.
学科网（北京）股份有限公司15. 写出一个同时其有下列性质(1)(2)的函数 ;_____.
(1)直线 是 图象的对称轴;(2) 在 上恰有三个零点.
16. 平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形,其中这两条相交直线是该平
行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线 的距离之和为2的点 的轨迹为曲线
, 则曲线 围成的图形面积为_____.
四、解答题:本题共6小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10 分)
2022 年 6 月的某一周, “东方甄选”直播间的交易额共计3.5亿乙元, 数据统计如下表：
第 天 1 2 3 4 5 6 7
交易额 /千万元
(1)通过分析, 发现可用线性回归模型拟合交易额 与 的关系,请用相关系数(系数精确到 0.01)加
以说明;
(2) 利用最小二乘法建立 关于 的回归方程(系数精确到0.1),并预测下一周的第一天(即第8天)
的交易额.
参考数据: .
参考公式: 相关系数 .
在回归方程 中, 斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
18. (12 分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且 .
（1）求角 的大小;
(2)若 边上的高为 ,求 .
学科网（北京）股份有限公司19. (12 分)
在多面体 中,平面 平面 是面积为 的矩 形,
, .
(1) 证明: .
(2) 求平面 与平面 夹角的余弦值.
20. (12 分)
已知数列 的首项为1 ,满足 ,且 成等差数列.
(1) 求 的通项公式;
(2) 证明: .
21. (12 分)
已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,一个焦点到该渐近线的距离为
.
(1)求 的方程;
(2) 设 是直线 上关于 轴对称的两点,直线 与 交于 两点,证明:直线
与 的交点在定直线上.
22. (12 分)
已知函数 .
(1)求 的单调区间;
学科网（北京）股份有限公司(2) 设 函 数 , 若 存 在 两 个 极 值 点 , 证 明 ：
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