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成都石室中学 2023-2024 年度上期高 2024 届十月月考
数学试题（理 ）参考答案
1．已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
解：已知集合 ， ，
则由集合的运算和集合的关系可得： ， 正确；故选： ．
2．若 ，则复数 在复平面上对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解： ，则复数
．
对应点 ， 在第一象限．故选： ．
3.已知命题 ，使 ，命题 关于直线
，下面结论正确的是
对称
A．命题“ ”是真命题 B．命题“ ”是假命题
C．命题“ ”是真命题 D．命题“ ”是假命题
解：命题 ，使 ，为真命题， 为假命题
命题 为假命题，则非 为真命题
：命题“ ”为假命题 为真命题
：“ ”为假命题 ：“ ”假命题故选： ．
4．已知等比数列 的前 项和为 ，且数列 成等差数列，则
学科网（北京）股份有限公司A．1或 B．2或 C．2或 D． 或
解：设等比数列 的公比为 ，由 ， ， 成等差数列可得， ，
即 ，化简得 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ．故选： ．
5.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
A． B． C． D．
该几何体是棱长分别为2，2，1的长方体中的三棱锥 ，
其中： ，
该几何体的表面积为： ．
故选： ．
6．已知函数 ，设 ，则 ， ，
的大小关系为
A． B． C． D．
解： 的定义域为 ，函数 为偶函数，所以 在 上为增函数，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 在 上为增函数，且 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，故选： ．
7．函数 的图象大致为
A． B． C． D．
解：函数 是非奇非偶函数，排除 、 ，函数 的零点是
，当 时， （e） ，排除选项 ．故选： ．
8．已知向量 ， ，则 的值是
A． B． C． D．
，
．故选： ．
9．2025年四川省新高考将实行 模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政
治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程都
没有偏好，则他们选六科中恰有四科相同的概率是
A． B． C． D．
答案：B
10．已知动圆M恒过点
(1,0)
，且与直线
x=−1
相切，设圆心M的轨迹方程曲线 ，直线
与曲线 交于 ， 两点（点 在 轴上方），与
直线
x=−1
交于点 ，若 ，则
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
解：如图所示， 抛物线 ． ，解得 ．
联立 ，化为： ． ，解得 ，
则 ．故选： ．
11．在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
在 中，由余弦定理得 ，且 的面积 ，
由 ，得 ，化简得 ，
又 ， ，联立得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
设 ，其中 ，所以 ，
由对勾函数单调性知 在 上单调递减，在 上单调递增，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ；当 时， ；当 时， ；
所以 ，即 的取值范围是 ．故选：C.
12．已知函数 ，设方程 的3个实根分别
为 ，且 ，则 的值可能为（ ）
A． B． ，C． D．
由题设， 的定义域为 ，且 ，
∴当 时， ，即 递减；当 时， ，即 递增.
∴ ，又 在 上逐渐变小时 逐渐趋近于0，当 时
且随 趋向于0， 趋向无穷大.
∴ 的图象如下：
∵ 的定义域为 ，由 可得： 在 上
必有两个不等的实根 (假设 )且 ，
∴令 ，要使 的3个实根，则 、 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司可得 .∴由 知： ， ，
∴ .故选：B.
一、 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D C B A C D B C C B
二、 填空题
13.1 ; 14. ; 15. ; 16. .
三、 解答题
17．解：（1）由 ，得 ，
两式相减得 ， ………………..3分
当 时， ，则 ， ………………..4分
所以 是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以 ；………………..6分
（2）
， ………………..7分
的前 项和 为
………………..12分
（分组求和中，求对一个数列和，单独给2分）
18 ． （ 1 ） 解 ： （ 1 ） 由 题 意 得 ，
，
所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；………………..6分
（2）①由（1）可知 ， ，
则
学科网（北京）股份有限公司②由①可知1名学生的体重位于 ， 的概率为0.819， ………………..8分
依题意， 服从二项分布，即 ， ，
则 ………………..12分
19．证明：（1） ， ， ………………..1
分
平面 平面 ，面 平面 ， ，
………………..3分
………………..5分
解：（2）设 与 的交点为 ，
由（1）得 ，
分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系， ……………..6分
平面 ， ，
， ，
， ．
设 ， ，
由题设得 ，0， ， ，0， ， ， ， ， ，
设 ， ， 是平面 的法向量，
则 ，取 ，得 ，
设 是平面 的一个法向量，
学科网（北京）股份有限公司则 ，取 ，得 ，1， …. .8分
二面角 是直二面角，
，解得 ， ………………..10
分
，
………………..12分
直线AE与直线FC所成角的余弦值为
20．（1）设动圆 的半径为 ，由题可知 ， ，从而
，所以圆心 的轨迹是以 为焦点的椭圆，轨迹方程
为 ………………..4分
（2）由 可知 平分 ，直线 的斜率 互为相反
数，即 ，...........………………..6分
设 ，
由 得， ，即有 ，
...........………………..7分
而 ，则 ，
即
...............................................8分
学科网（北京）股份有限公司于是
，.
化简得： ，..................................9分
且又因为 在椭圆上，即 ，即 ， ，
从而 ， ，
又因为 不在直线 上，则有 ，即 ，
所以 为定值，且 . .....................................12分
（若答案正确，没有过程，给答案分2分）
21.（1）因为 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可知 有极大值 ；无极小值 ........................3分
（2）令
因为 ，则
在 上单调递增，在 上单调递减，且 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，且 ， ，
所以 在 上单调递减，因为 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，........................5分
学科网（北京）股份有限公司令
则由 图像可知， 有两个解，不妨记为 ， 有两个解，不
妨记为 ，从而 ，故存在实数 ，使得集合 中有且仅有3个元素；
得证 ........................7分
（3）此时 ，且 ，
因为 ，则 ，即 ， ........................8分
因为 ， ，且 在 上单调递增，
所以 ，可得 ， ........................9分
又因为 ，则 ，即 ，......................10分
且 ， ， 在 上单调递减，
所以 ，则 ，........................11分
所以 ，即 ，
又因为 ，且 ，故 ........................12分
22.（1）由题意，曲线 的参数方程为 ， 为参数，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司再设 ，则 ， 为参数，........................2分
消去参数，得到 ，
故点M的轨迹C的方程为 ．.......................5分
（若没有限制范围，扣1分）
（2）设 的参数方程为 （t为参数），且 ，
代入曲线C的方程得 ，......................7分
设A，B两点对应得参数分别为 ， ，则 ，
所以 ，则 ，
即直线l的斜率为 ．.....................10分
23.（1）由题意记 ，.....................2分
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因此 的最小值 ，.....................4分
由题可知 ，所以实数 的取值范围是 ....................5分
（2）由（1）知 ,且 均为正数，
所以 ，
由基本不等式 ， ， ，
所 以 ， 当 且 仅 当 时 等 号 成 立 ， 即
.....................10分
学科网（北京）股份有限公司
