文档内容
高三理科数学
一、选择题: 本题共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是
符合题目要求的。
1. 若集合 , 则
A.
B.
C.
D.
2. 若复数 满足 , 则
A.
B.
C.
D.
3. 已知 为等差数列 的前 项和, 若 , 则
A. 450
B. 400
C. 350
D. 225
4. “ ”成立的一个必要不充分条件为
A.
B.
C.
D.
5. 已知 满足约束条件 则 的最大值为
A. 5
B. 6
C. -7
学科网（北京）股份有限公司D. -3
6. 如图,在四边形 中, 分别为 的中点, 若 ,则
A.
B.
学科网（北京）股份有限公司C.
D.
7. 如图, 在正方体 中, 点 为棱 的中点, 则异面直线 与 所成角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
8. 已知双曲线 与斜率为 1 的直线交于 两点, 若线段 的中点为 , 则 的
离心率
A.
B.
C.
D.
9. 如图,函数 的图象过 两点,为得到函数
的图象, 应将 的图象
A. 向右平移 个单位长度
B. 向左平移 个单位长度
学科网（北京）股份有限公司C. 向右平移 个单位长度
D. 向左平移 个单位长度
10. 已知 是 上的奇函数, 且 , 则
A. -3
学科网（北京）股份有限公司B. -1
C. 1
D. 2
11. 已知 为抛物线 的焦点,过 且斜率为 1 的直线交 于 两点, 若
, 则
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12. 已知定义在 上的函数 满足 为 的导函数, 当
时, , 则不等式 的解集为
A.
B.
C.
D.
二、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13. 的展开式中 的系数为560 ,则实数 的一个值为______.
14. 在等比数列 中, ,且 , 则数列 的公比 ______.
15. 已知 ,则曲线 在点 处的切线方程为______.
16. 如图, 在三棱锥 中,平面 平面 ,点 在 上,
,过点 作三棱锥 外接球的截面,则截面圆面积的最小值为______.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 题为必考题, 每个
试题考生都必须作答。第 22 、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
学科网（北京）股份有限公司17. (本小题满分 12 分)
学科网（北京）股份有限公司在 中, 角 的对边分别为 , 且 .
(1)求角 ;
(2) 若 边上的高为 , 求 .
18. (本小题满分 12 分)
2022 年 7 月 6 日～14 日, 素有“数学界奥运会”之称的第 29 届国际数学家大会, 受疫情影响,
在线上 进行, 世界各地的数学家们相聚云端、共襄盛举. 某学校数学爱好者协会随机调查了学校
100 名学生, 得到如下调查结果: 男生占调查人数的55%, 喜欢数学的有 40 人, 其余的人不喜欢
数学; 在调查的女生中,喜欢数学的有 20 人, 其余的不喜欢数学.
(1) 请完成下面 列联表, 并根据 列联表判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜
欢数学与学生的性别有关?
喜欢数学 不喜欢数学 合计
男生
女生
合计
(2)采用分层抽样的方法, 从不喜欢数学的学生中抽取8人, 再从这8人中随机抽取3人,记 为3
人中不喜欢数学的男生人数, 求 的分布列和数学期望.
参考公式: , 其中 .
临界值表：
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19. (本小题满分 12 分)
如图, 在三棱锥 中, 侧面 底面 为 的中点.
(1)若 , 求证: ;
(2)若 , 求直线 与平面 所成角的正弦值.
20. (本小题满分 12 分)
学科网（北京）股份有限公司已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,且 与短轴的两个端点恰好为正方形
的四个顶点, 点 在 上.
(1) 求 的方程;
(2) 过点 作互相垂直且与 轴均不重合的两条直线分别交 于点 和 , 若 分别是弦
的中点, 证明: 直线 过定点.
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2) 当 时, 判断曲线 与曲线 交点的个数, 并说明理由.
(二)选考题: 共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中, 曲线 的参数方程为 ( 为参数).以 为极点, 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为 .
(1) 求 的普通方程和 的直角坐标方程;
(2) 若 与 交于相异两点 , 且 , 求 的值.
23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5: 不等式选讲
已知 , 证明:
(1) ;
(2) .
学科网（北京）股份有限公司
