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本溪高中 2023-2024 学年度高考适应性测试（一）
高 三 数 学
考生注意：
1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，22小题，共4页
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
1．甲烷分子式为 ，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，四个碳氢
键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用 表示碳原子的位置，用 表示四个氢原子的位置，设
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．设函数 是定义在 上周期为 的函数，且对任意的实数 ，恒 ，当 时，
．若 在 上有且仅有三个零点，则 的取值范围为
A． B． C． D．
3．已知a，b， ，且 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，圆锥的轴截面 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， ， 为 中点．若底面 所在
平面上有一个动点 ，且始终保持 ，过点 作 的垂线，垂足为 ．当点 运动时，
①点 在空间形成的轨迹为圆
②三棱锥 的体积最大值为
③ 的最大值为2
④ 与平面 所成角的正切值的最大值为
上述结论中正确的序号为（ ）．
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
5．若椭圆 上的点 到右准线的距离为 ，过点 的直线 与 交于两点 ，且
，则 的斜率为
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
6．函数 在实数范围内的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函数 ，有且只有一个负整数 ，使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若平面向量 ， ， 满足 ， ， ，且 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9．若直线 与曲线 满足下列两个条件：（1）直线 在点 处与曲线 相切；（2）曲线 在点 附近位
于直线 的两侧，则称直线 在点 处“切过”曲线 .下列结论正确的是（ ）
A．直线 在点 处“切过”曲线
B．直线 在点 处“切过曲线
C．直线 在点 处“切过”曲线
D．直线 在点 处“切过”曲线
10．在三棱柱ABC−ABC 中，平面ACC A⊥平面ABC，AA=AC．E，F分别是线段AC，AB 上的点．下列结论
1 1 1 1 1 1 1 1 1
成立的是（ ）
A．若AA=AC，则存在唯一直线EF，使得EF⊥AC
1 1
B．若AA=AC，则存在唯一线段EF，使得四边形ACC A 的面积为
1 1 1
C．若AB⊥BC，则存在无数条直线EF，使得EF⊥BC
D．若AB⊥BC，则存在线段EF，使得四边形BBC C的面积为BC·EF
1 1
11．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，
促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙
（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第
一次取出的脐橙的标号为 ，第二次为 ，设 ，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A． B．事件 与 互斥
C． D．事件 与 对立
12．过直线 上一点 作拋物线 的两条切线，设切点分别为 ，记 是线段 的中点，则
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A．直线 经过该抛物线的焦点
B．直线 轴
C．线段 的中点在该抛物线上
D．以线段 为直径的圆与抛物线的准线相交
三、填空题（每题5分，共20分）
13．已知 ，对于任意的实数 ， 在区间 上的最大值和最小值分别为
和 ，则 的取值范围为 .
14．如图，正方形ABCD的边长为 ，O是BC的中点，E是正方形内一动点，且 ，将线段DE绕点D逆
时针旋转 至线段DF，若 ，则 的最小值为 .
15．已知常数 ，函数 、 的表达式分别为 、 ．若对任意 ，
总存在 ，使得 ，则a的最大值为 ．
16．已知正 的边长为1， 为该三角形内切圆的直径， 在 的三边上运动，则 的最大值为
.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．已知数列 满足 ，
(1)令 ，求 ， 及 的通项公式；
(2)求数列 的前2n项和 .
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ，
. 为 的中点，点 在 上，且 .
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证： 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ，若存在求出点 的位置，不存在请说明理由.
19．如图,某小区为美化环境,建设美丽家园,计划在一块半径为R（R为常数）的扇形区域上,建个矩形的花坛CDEF
和一个三角形的水池FCG.其中 ,O为圆心, ,C,G,F在扇形圆弧上,D,E分别在半径OA,OB上,记
OG与CF,DE分别交于M,N, .
（1）求△FCG的面积S关于 的关系式,并写出定义域；
（2）若R=10米,花坛每平方米的造价是300元,试问矩形花坛的最高造价是多少？（取 ）
20．某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有 份血液样本（数量足够大），有
以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验n次；
方式二：混合检验，将其中k（ 且 ）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k份血液样本全
无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化
验一次，检验总次数为 次．
假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为 ．
(1)现有7份不同的血液样本，其中只有3份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把有
抗体的血液样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中k（ 且 ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 ；采用混合检验
方式，样本需要检验的总次数为 ．
①若 ，求P关于k的函数关系式 ；
②已知 ，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据： ．
21．已知椭圆 的左焦点为 ，过原点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，若 ，
且 .
(1)求椭圆 的离心率；
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学科网（北京）股份有限公司(2)椭圆 的上顶点为 ，不过 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ，若
，试问直线 是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
22．已知函数 ．
(1)当 ，分析函数 的单调性；
(2)当 时，若函数 与 的图象有且只有一条公切线，求 的值
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