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2024 届高三年级暑期质量调研数学试卷
命题人： 审题人：
一、单选题
1．已知集合M={−2,0,1}，N={x|x2+ax−2=0}，若N⊆M，则实数a＝
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
2．若(1−i)(1−z)=1+i，则z的虚部为（ ）
A． B．1 C．−i D．i
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
3． 设向量a=(√3,1),b=(1,−√3) ，则向量
a−√3b
与
b
的夹角为( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
a
4．在(x− ) 5 的展开式中，x2的系数是−10，则a=( )
x2
A. −2 B. −1 C. 1 D. 2
5．等比数列{a }满足a >0,n∈N∗且a ⋅a =32n (n≥2)，则当n≥1时，
n n 3 2n−3
log a +log a +⋯+log a =（ ）
√3 1 √3 2 √3 2n−1
n(2n−1)
A． B．2(2n2−n) C． D．2n2−n
2
6. 如果函数f (x)=ax(ax−3a2−1) (a>0，且a≠1)在区间[0,+∞)上是增函数，那么
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
π π
7.已知α,β∈(0, )，且α−β= ，则 的最小值为（ ）
2 3
A．2 B．2√3 C．4 D．4√3
1
8．已知圆O：x2+ y2= ，直线l：y=kx+b(k≠0)，l和圆O交于E，F两点，以Ox
4
为始边，逆时针旋转到OE，OF为终边的最小正角分别为α和β，给出如下3个命题：
①当k为常数，b为变数时，sin(α+β)是定值；
②当k为变数，b为常数时，sin(α+β)是定值；
学科网（北京）股份有限公司③当k和b都是变数时，sin(α+β)是定值．其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．若某地区规定在一段时间内没有发生大规模群体病毒感染的标准为“连续10天，
每天新增疑似病例不超过7人”，根据该地区下列过去10天新增疑似病例的相关数据，
可以认为该地区没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．平均数为2，中位数为3 B．平均数为2，众数为2
C．平均数为1，方差大于0.5 D．平均数为2，方差为3
10．某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的
品牌 甲 乙 其他
市场占有率和优质率的信息如右表：
市场占有率 50% 30% 20%
在该市场中随机买一种品牌的N95口罩，记
A ,A ,A 表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品 优质率 80% 90% 70%
1 2 3
牌、其他品牌，记B表示买到的口罩是优质品，
则（ ）
A．P(A +A )=0.5 B．P(BA )=0.8
2 3 1
C． D．P(A ∣B)=0.3
2
11．设直线l：mx－ y－2m＋2＝0(m∈R)，交圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9于A，B两点，
则下列说法中正确的有( )
A. 直线l恒过定点(1，2) B. 弦AB长的最小值为4
C. 过坐标原点O作直线l的垂线，垂足为点M，则线段MC长的最小值为√5
D. 当m＝1时，圆C关于直线l对称的圆的方程为(x－4)2＋(y－3)2＝9
12．如图，在棱长为1的正方体ABCD−A B C D 中，点M，N分别在线段AD 和
1 1 1 1 1
上．给出下列四个结论中所有正确结论的序号是
（ ）
1
A．MN的最小值为1 B．四面体NMBC的体积为
3
C．存在无数条直线MN与AD 垂直
1
3
D. 点M，N为所在边中点时，四面体NMBC的外接球半径为 三、填空题
4
13．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中取出4个,其中恰好有一个红球
和一个黑球编号相同的取法种数为 .
( π)
14．已知y=cos ωx+ (ω>0)的图像与y=1的图像的两相邻公共点间的距离为π，
3
试卷第2页，共12页( π)
要得到y=cos ωx+ 的图像，最少需要把y=sin(ωx)的图像向左平移 个单
3
位.
15．下列不等式正确的有 .（写出正确的所有序号）
① π>elnπ ② 4π>e2lnπ ③ π>eln2π ④ π2<e2lnπ
16．已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，点P(t, t+2)，若圆C上存在两点A、B，使得⃑OA
+2⃑OP=3⃑OB，则t的取值范围是 .
四、解答题
2a+c
17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC= .
2b
(1)求B；(2)若b=√7，sinC=2sinA，D是AC上一点，BD为角B的平分线，求BD．
18．已知直角梯形BQPC中，∠CBQ=90°，BQ//CP，BC=1，BQ=2，CP=3，
1
A为BQ的中点，CD= CP，如图，将四边形ABCD沿AD向上翻折，使得平面
3
ABCD⊥平面ADPQ.
(1)在PD上是否存在一点 ，使得CH//平面BDQ？
(2)求二面角
的余弦值.
a
19．已知函数f (x)=lnx− −1.
x
（1）若曲线 存在斜率为 -1的切线，求实数a的取值范围；
（2）求f (x)的单调区间；公众号：全元高考
学科网（北京）股份有限公司x+a
（3）设函数g(x)= ，求证：当−1<a<0时， g(x)在(1,+∞)上存在极小值.
lnx
{S }
20.已知数列{a }的前n项和为S ，a =3，数列 n 是以2为公差的等差数列．
n n 1 n
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设b =a ×2n ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
21．足球是一项大众喜爱的运动．
喜爱足球运动不喜爱足球运动合计
（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有
男
60 40 100
关，随机抽取了男性和女性各100名观众 性
进行调查，得到右侧2×2列联表，判断 女
20 80 100
性
是否有99.9%的把握认为喜爱足球运动与
合
性别有关. 80 120 200
计
n(ad-bc)2
附 :χ2= , P(χ2≥x ) 0.1000.0500.0250.0100.001
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0
n=a+b+c+d. x 2.7063.8415.0246.63510.828
0
(2)校足球队中的甲、乙、丙三名球员将
进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两
个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的
人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为P ，即P =1． ①求P (直接写出结
n 1 3
果即可)；
试卷第4页，共12页1
②证明：数列{P − }为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
n 3
22．如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于M，N两点(点M
在点N的左侧)，且MN＝3.
(1) 求圆C的方程；
(2) 过点M任作一条与x轴不重合的直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接
AN，BN，求证：k 为定值．
AN
k
BN
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