文档内容
厦门市2023届高三毕业班第二次质量检测
数 学 试 题
满分150分考试时间120分钟
注意事项:
1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考出要认真核对答
题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与当生本人准考证号、姓
名是否一致.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应圈目的答案标号次黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写
在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.复数z ，z 在复平面内对应的点分别为（1，2），（0，-1），则z z ＝
1 2 1 2
A.1+i B.2-i C.-2i D.-2-i
2.（ax+y）5的展开式中x2y3项的系数等于80，则实数a＝
A.2 B.±2 C.2 2 D.±2 2
3.不等式ax2-2x+1＞0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是
A.a≥1 B.a＞1 C.0＜ ＜1 D.a＞2
2
4.西施壶是紫砂壶器众多款式中最经典 的壶型之一，是一款非常实用的泡茶工具
（如图1）.西施壶的壶身可近似看成一个
球体截去上下两个相同的球缺的几何体.
球缺的体积 ＝
（3 ） 2
（R为球缺所在
3
π R−ℎ ℎ
球的半径， Vh为球缺的高）.若一个西施壶
的壶身高为8cm，壶口直径为6cm（如图
2），则该壶壶身的容积约为（不考虑壶
壁厚度，π取3.14）
A.494ml B.506ml C.509ml D.516ml
5.厦门山海健康步道云海线全长约23公里，起于东渡邮轮广场，终于观音山沙滩，
沿线申联贸鸟湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山、湖边水库、
五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”.市民甲计划从“八山三水”这11个景点
中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的概率为
1 4 5 109
A. B. C. D.
3 9 9 165
高三数学试卷第1页（共4页）6.如图，cos（ + 3 ）＝
4
π
2 5 5
A. B.
5 5
−4 −2 5
C. D.
5 5
−
7.圆O为锐角△ABC的外接圆，AC＝2AB＝2，点P在圆O上，则BP·AO的取值范围
为
A.[ 1，4） B.[0，2） C.[ 1，2） D.[0，4）
2 2
− −
8.已知 ＝ ，b＝ln3， ＝2 n2 ，则
9−e 2
A.c＞ b＞ 3 a +e B.a＞b＞ c l −C 7 .c＞a＞b D.b＞a＞c
二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多
个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9.李明每天7:00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次
坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到:坐公交车平均用时30分钟，样
本方差为36;自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行
车用时Y都服从正态分布，则
A.P（X＞32）＞P（Y＞32）
B.P（X≤36）＝P（Y≤36）
C.李明计划7:34前到校，应选择坐公交车
D.李明计划7:40前到校，应选择骑自行车
10.函数f（x）＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是
11.如图的六面体中,CA＝CB＝CD＝1,AB＝BD＝AD＝AE＝BE＝DB＝ ,则
A.CD⊥平面ABC B.AC与BE所成角的大小为 2
3
π
C.CE＝ 3 D.该六面体外接球的表面积为3π
12.定义在R上的函数f（x）满足f（2-x）＝f（2+x）+4x，函数f
（2x+1）的图象关于（0，2）对称，则
A.f（x）的图象关于（1，2）对称 B.4是f（x）的一个周期
C.f（2）＝4 D.f（2023）＝-4042
高三数学试卷 第2页（共4页）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.将函数f（x）＝sin（2 ）的图象向左平移φ（0＜ ＜ ）个个位长度.得到函数
3 2
π π
g（x）的图象，若g（ x）−是奇函数，则φ＝ .
14.写出与直线x＝1，y＝1和圆x2+y2＝1都相切的一个圆的方程 。
15.数列{a }满足a ＝1+ ，a ＝2.若T ＝a a a …a ，则T ＝ .
n n+1 1 n 1 2 3 n 10
1
− 2
16.不与x轴重合的直线l过点N（x ，0）（x ≠0），双曲线C: ＝1（a＞0，b＞
N N 2 22
0）上存在两点A、B关于l对称，AB中点M的横坐标为x M .若x N ＝ −4x M ，则C的离心率
为 .
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2a-c＝2bcosC.
（1）求B；
（2）A的角平分线与C的角平分线相交于点D，AD＝3，CD＝5，求AC和BD.
18.（12分）
如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，AB⊥AD，A D⊥BD .
1 1 1 1 1 1
（1）证明:四边形ADD A 为正方形；
1 1
（2）若直线BD 与平面ABCD所成角的正弦值为 3，CD＝2AB，求平面ABD 与
1 1
3
平面BCD 的夹角的大小.
1
19.（12分）
记等差数列{a }的公差为d，前n项和为S ；等比数列{b }的公比为q，前n项和为T ，已知
n n n n
b ＝4a ，S ＝b +6，T ＝7a .
3 1 4 3 3 1
（1）求d和q;
， 为奇数，
（2）若a ＝1，q＞0，c ＝ 求{c }的前2n项和.
1 n n
， 为偶数，
− +1
高三数学试卷 第3页（共4页）20.（12分）
移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人
消费等领域.截至2022年底，我国移动物联网连接
数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现
“物超人”的国家.右图是2018-2022年移动物联网
连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-
2022对应的t分别为1~5.
（1）根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算
样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的
相关程度；
（2）（i）假设变量x与变量Y的n对观测数据为
（x ，y ），（x ，y ），…，
1 1 2 2
＝ +
（x ，y ），两个变量满足一元线性回归模型
n n
（ ）＝0. （ ）＝ .
2
（随机误差e ＝y -bx ）.请推导:当随机误差平方和 Q＝ 取 得 最小值 时，参数b
1 1 1
2
的最小二乘估计. =1
（ii）令变量x＝1-t，y＝w- ，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型
＝ +
利用（i）中结论求y关于x的经验回归方程，
（ ）＝0. （ ）＝ .
2
并预测2024年移动物联网连接数.
21.（12分）
已知西数f（x）＝aex-x-a（a∈R）.
（1）讨论f（x）的单调性:
（2）证明:对任意a∈（0，1）.存在正数b使得aeb＝a+b.且2lna+b＜0.
22.（12分）
已知椭圆C: ＝1（a＞b＞0）的离心率为1，左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线l
1 2 1
2 2 2
交C丁A.B两
2点
+
.2当l⊥x轴时，△ABF
2
的面积为3.
（1）求C的方程；
（2）足否存在定圆上，使其与以AB为直径的圆内切？若存在，求出所有满足条
件的圆E的方程；若不存在，请说明理由.
高三数学试卷 第4页（共4页）
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