江苏省南通市2024届高三上学期10月份质量监测数学(1)_2023年10月_01每日更新_26号_2024届江苏省南通市高三上学期10月份质量监测

2023-2024 学年(上) 高三 10 月份质量监测
数 学
本试卷共22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答
题卡“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置
上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无
效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 设集合A=(−1,2 ) , B=( a−2,a ) , 若A∩B=(-1,0), 则a=
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 已知复数 则|z|=
2023
1−𝑖𝑖
A. i 𝑧𝑧 =B.� -1i+ 𝑖𝑖 � , C. 1 D.
3. 在△ABC中, “A=B” 是 “ sinA=sin B” 的
√2
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4. 已知函数 f ( x )的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为
ln|𝑥𝑥|
𝐴𝐴.𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
2+cos𝑥𝑥
ln|𝑥𝑥|
𝐵𝐵C..𝑓𝑓 f ((𝑥𝑥x ))==cosx·ln x
2+sin𝑥𝑥
D. f
(
x
)=sinx·ln
x
5. 记地球与太阳的平均距离为 R，地球公转周期为 T，万有引力常量为 G，则太阳的质量
(单位: kg).由 lg2≈0.3,lgπ≈0.5计算得太阳的质量约为
2 3 3
4𝜋𝜋 𝑅𝑅 𝑅𝑅
2 2
𝑀𝑀 = 𝐺𝐺𝑇𝑇 lg𝐺𝐺𝑇𝑇 ≈ 28.7,
𝐴𝐴.2×10²⁹𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐵𝐵.2×10³⁰𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐶𝐶.3×10²⁹𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐷𝐷.3×10³⁰𝑘𝑘𝑘𝑘
学科网（北京）股份有限公司6. 已知 则
𝜋𝜋 3 𝜋𝜋
si n � 𝛼𝛼 − 6�+ c o s 𝛼𝛼 = 5, co s � 2 𝛼𝛼 + D3.� =
7 7 24 24
7. 已𝐴𝐴.知−2f5 ( x )是定𝐵𝐵义.2在5 R上的偶𝐶𝐶.函−数25,g ( x )是定2义5 在R上的奇函数,且 f ( x ) , g ( x )在(-∞,0]单调
递减, 则
A. f
(
f
(
x
))在[0,+∞)单调递减
B. f
(
g
(
x
))在[0,+∞)单调递减
C.g
(
g
(
x
))在[0,+∞)单调递减
D.g
(
f
(
x
))在[0,+∞)单调递减
8. 已知曲线 y =−x³−3x?+9x+9 .与曲线 交于点 A ( x ,y ) , A ( x ,y ) ,…,A ( x , y ) ,
1 1 1 2 2 2 n n n
1−2𝑥𝑥
n 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥+1
则∑(x + y ) =
i i
i=1
A. -16 B. -12 C. -9 D. -6
二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得２分， 有选错的得０分。
 
9. 已知平面向量a=( 1,3 ) , b=(−2,1 ) , 则
  
( )
B. 2a−b ⊥b
    
C 𝐴𝐴 . . a |𝑎𝑎⃗与| = b的√1夹0角为锐角 D. a在b上的投影向量为 b
1
10. 已知实数a, b, c满足a>b>c, 且a+b+c=0, 则 5
A. ab+bc<0 B. ln(a-c)>ln(b-c)
C. 2b<a-c D. a²>c²
11. 已知函数 的部分图象如图所示，则
𝜋𝜋
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin(𝜔𝜔𝑥𝑥+𝜑𝜑)(ω > 0,|𝜑𝜑π| < 2)
A. 的图象可由曲线y =sin2x向左平移 个单位长度得到
3
𝑓𝑓(𝑥𝑥)
𝜋𝜋
𝐵𝐵 .𝑓𝑓(𝑥𝑥) = co是s�2𝑥𝑥 −图6象� 的一个对称中心
2𝜋𝜋
,
D 𝐶𝐶 . . �− 3在0区�间𝑓𝑓 (𝑥𝑥) 上单调递增
7𝜋𝜋 5𝜋𝜋
𝑓𝑓(𝑥𝑥) �6
,
4�
12. 定义在R上的函数f(x)满足 则
1 1
A. f ( 2 )=0 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 + B.3 )f+( x𝑓𝑓)(+𝑥𝑥f+(−1)x )==00, 𝑓𝑓(2−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥+4),𝑓𝑓�2� = 2 ,
100 k 100 1
C.∑ f( )=1 D.∑Kf(K − )=−100
2 2
k=1 k=1
学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。
13. 已知定义在R上的奇函数 f ( x )与偶函数g ( x )满足 则 f(1)= .
𝑥𝑥
π 𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑘𝑘(𝑥𝑥) = 2 ,
14. 已知扇形 AOB的半径为 1,面积为 ,P是AB.上的动点，则 的最小值为 .
3
𝑂𝑂����𝑂𝑂�⃗ ⋅𝑂𝑂����𝐵𝐵�⃗
15. 已知函数 在区间[0，π]上有且仅有3个零点， 则ω的取值范
𝜋𝜋
围 是 . 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin�𝜔𝜔𝑥𝑥+ 4�(ω > 0)
16. 若存在x∈(0,+∞), 使得 则 的取值范围是 .
四、解答题：本题共６小题
𝑙𝑙
，
𝑙𝑙𝑥𝑥
共
−
７
𝑥𝑥𝑥𝑥
０
ˣ+
分
1
。
≥
解
2
答
𝑎𝑎𝑥𝑥
应
,
写
𝑎𝑎
出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10分)
在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 2a =2ccosB+b.
(1) 求角C的大小;
(2)若 的面积为 求△ABC的周长.
3√3
𝐴𝐴𝐵𝐵 = √7,𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 2 ,
18. (12分)
设向量( 函数
(1)求 f𝑎𝑎 ( =x ) (图 2c 象 os 的 𝑥𝑥 ,对 2s 称 in𝑥𝑥 轴), 方 𝑏𝑏 程 = ； �√ 3cos𝑥𝑥 , cos𝑥𝑥�, 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 ⋅𝑏𝑏−√3.
(2)若 且 求cosα的值.
𝛼𝛼 6 𝜋𝜋
,
𝑓𝑓�2� = −5, 𝛼𝛼 ∈ �2 𝜋𝜋�,
19. (12分)
已知函数
𝑎𝑎 3 2
(1) 当a =3𝑓𝑓时(𝑥𝑥,)求=f(3x𝑥𝑥)在−区3间𝑥𝑥[0−,49]上𝑥𝑥.的最值;
(2)若直线l：12x+ y−1=0是曲线 y = f ( x )的一条切线， 求a的值.
学科网（北京）股份有限公司20. (12分)
在平面四边形ABCD中，
𝜋𝜋 𝜋𝜋
(1) 若 求AC∠; 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 = 3,∠𝐴𝐴𝐷𝐷𝐶𝐶 = 2,𝐵𝐵𝐶𝐶 = 2.
(2)若 𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗⋅𝐶𝐶����𝐵𝐵�⃗ = 3, 求tan∠ACD.
𝜋𝜋
𝐴𝐴𝐷𝐷 = 2√3,∠𝐴𝐴𝐶𝐶𝐵𝐵 = ∠𝐴𝐴𝐶𝐶𝐷𝐷 +3,
21. (12分)
设函数
𝑥𝑥 −𝑥𝑥
(1)证明:𝑓𝑓 当 (𝑥𝑥)a==2𝑥𝑥 时 −, f𝑥𝑥 ( x ) − 是 𝑎𝑎R𝑥𝑥. 上的增函数;
(2)当x>0时, f ( x )>0, 求a的取值范围.
22. (12分)
已知函数 f ( x )= x²−x−alnx存在两个极值点x , x ,且x < x .
1 2 1 2
(1)求a的取值范围；
(2)若 f ( x )− f ( x )<mx x ,求m的最小值.
1 2 1 2
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数学参考答案与评分建议
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1． 设集合A(1，2)，B(a2，a)，若A B(1，0)，则a

A．1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
1i2023
2． 已知复数z ，则 z 
1i
A．i B．i C．1 D． 2
【答案】C
3． 在△ABC 中，“AB”是“sinAsinB”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
4． 已知函数 f(x)的部分图象如图所示，则 f(x)的解析式可能为
ln|x|
A． f(x)
2cosx
ln|x|
B． f(x)
2sinx
C． f(x)cosxln|x|
D． f(x)sinxln|x|
【答案】D
5． 记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G ，则太阳的质量
42R3 R3
M  （单位：kg）.由lg 28.7，lg20.3，lg0.5得太阳的质量约为
GT2 GT2
A．21029 kg B．21030 kg C．31029 kg D．31030 kg
【答案】B
  3  
6． 已知sin  cos ，则cos 2 
6 5 3
数学参考答案 第 1 页（共8页）
{{##{{QQQQAABBTIYYaAUQooggioAQoAQJBAJAAQAgQChQCwQFwiCkggCGgQEkQAkCAAGAAIoAGKRoAOAAMBAMMAsAAAAgARANBANBAABAA=A}#=}}#}7 7 24 24
A． B． C． D．
25 25 25 25
【答案】B
7． 已知 f(x)是定义在R 上的偶函数，g(x)是定义在R 上的奇函数，且 f(x)，g(x)在
，0单调递减，则
A． f f(x)在0，单调递减 B． f g(x)在0，单调递减
C．gg(x)在0，单调递减 D．gf(x)在0，单调递减
【答案】D
12x
8． 已知曲线yx3 3x2 9x9与曲线y 交于点A(x ，y )，A (x ，y )，…，
x1 1 1 1 2 2 2
n
A (x ，y )，则(x  y )
n n n i i
i1
A．-16 B．-12 C．-9 D．-6
【答案】B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知平面向量a(1，3)，b(2，1)，则
A．|a| 10 B．(2ab)b
1
C．a与b的夹角为锐角 D．a在b上的投影向量为 b
5
【答案】ACD
10．已知实数a，b，c 满足abc，且abc0，则
A．abbc0 B．ln(ac)ln(bc)
C．2bac D．a2 c2
【答案】BC
 
11．已知函数 f(x)sin(x) 0， 的部分图象如图所示，则
2

A． f(x)的图象可由曲线ysin2x向左平移 个单位长度得到
3
 
B． f(x)cos 2x
6
数学参考答案 第 2 页（共8页）
{{##{{QQQQAABBTIYYaAUQooggioAQoAQJBAJAAQAgQChQCwQFwiCkggCGgQEkQAkCAAGAAIoAGKRoAOAAMBAMMAsAAAAgARANBANBAABAA=A}#=}}#} 2  1
C．  ，0 是 f(x)图象的一个对称中心 ·
3
7 5
D． f(x)在区间 ， 上单调递增
  ·
 6 4 
【答案】BC
-1
1 1
12．定义在R上的函数 f(x)满足 f(x3) f(x1)0， f(2x) f(x4)， f  ，
2 2
则
A． f(2)0 B． f(x) f(x)0
100 k 100  1
C． f 1 D．kf k 100
2 2
k1 k1
【答案】AB
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知定义在R上的奇函数 f(x)与偶函数g(x)满足 f(x)g(x)2x，则 f(1) ．
3
【答案】
4
  
14． 已知扇形AOB的半径为1，面积为 ，P是AB上的动点，则OPPB的最小值为 ．
3
3
【答案】
2
 
15．已知函数 f(x)sin x (0)在区间[0，]上有且仅有3个 零点，则的取值范围
4
是 ．
【答案】
11
，
15
4 4
16．若存在x(0，)，使得lnxxex 1≥2ax，则a的取值范围是 ．
【答案】

，
1
2
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a2ccosBb.
（1）求角C的大小；
3 3
（2）若AB 7，△ABC 的面积为 ，求△ABC 的周长.
2
解：（1）在△ABC 中，
数学参考答案 第 3 页（共8页）
{{##{{QQQQAABBTIYYaAUQooggioAQoAQJBAJAAQAgQChQCwQFwiCkggCGgQEkQAkCAAGAAIoAGKRoAOAAMBAMMAsAAAAgARANBANBAABAA=A}#=}}#}a2 c2 b2
由余弦定理，得2a2c b， …… 2分
2ac
整理得a2 b2 c2 ab，
a2 b2 c2 ab 1
所以cosC   ， …… 4分
2ab 2ab 2

因为C0，，所以C  . …… 5分
3
  2
（2） 由余弦定理，得a2 b2 2abcos  7 ，
3
(ab)2 3ab7. …… 7分
1 3 3 3
由S  absinC ab ，
△ABC 2 4 2
得ab6， …… 9分
所以(ab)2 187，解得ab5，
所以abc5 7 ，
即△ABC 的周长为abc5 7 . ……10分
18．（12分）
设向量a2cosx，2sinx，b  3cosx，cosx  ，函数 f(x)ab 3.
（1）求 f(x)图象的对称轴方程；
 6  
（2）若 f  ，且 ， ，求cos的值.
2 5 2
解：（1）因为 f(x)ab 32cosx，2sinx  3cosx，cosx   3
2 3cos2 x2sinxcosx 3 …… 2分
 3cos2xsin2x
 
2sin 2x . …… 4分
3
  k 
令2x k ，得x  （kZ），
3 2 2 12
k 
所以 f(x)图象的对称轴方程为x  （kZ）. …… 6分
2 12
 6   6   3
（2） 因为 f  ，所以2sin   ，即sin   ， …… 7分
2 5 3 5 3 5
   5 4
又因为 ， ，所以  ， ，
2 3 6 3
数学参考答案 第 4 页（共8页）
{{##{{QQQQAABBTIYYaAUQooggioAQoAQJBAJAAQAgQChQCwQFwiCkggCGgQEkQAkCAAGAAIoAGKRoAOAAMBAMMAsAAAAgARANBANBAABAA=A}#=}}#}     32 4
故cos   1sin2   1   ， …… 9分
3 3 5 5
   1   3  
所以coscos    cos   sin 
3 3 2 3 2 3
1  4 3  3
     
2 5 2 5
43 3
 . ……12分
10
19．（12分）
a
已知函数 f(x) x3 3x2 9x.
3
（1）当a3时，求 f(x)在区间[0，4]上的最值；
（2）若直线l：12x y10是曲线y f(x)的一条切线，求a的值.
解：（1）当x3时， f(x)x3 3x2 9x，
导函数 f(x)3x2 6x9， …… 1分
即 f(x)3(x3)(x1)．
令 f(x)0，解得1x3；
f(x)0，解得x1或x3．
所以当x0，3时， f(x)单调递减；
当x3，4时，f(x)单调递增． …… 3分
所以当x3时，f(x)  f(3)27． …… 4分
min
又因为 f(0)0， f(4)20，
所以 f(x)  f(0)0． …… 6分
max
（2）导函数 f(x)ax2 6x9．
设直线l与曲线y f(x)相切于点P(x ，y )，则
0 0
ax 2 6x 912，
 0 0
a …… 9分
 x 3 3x 2 9x 12x 1，
3 0 0 0 0
消去a，得x 2 2x 10，
0 0
数学参考答案 第 5 页（共8页）
{{##{{QQQQAABBTIYYaAUQooggioAQoAQJBAJAAQAgQChQCwQFwiCkggCGgQEkQAkCAAGAAIoAGKRoAOAAMBAMMAsAAAAgARANBANBAABAA=A}#=}}#}解得x 1．
0
代入ax 2 6x 912，
0 0
解得a3． ……12分
20．（12分）
 
在平面四边形ABCD中，ABC  ，ADC  ，BC 2．
3 2
 
（1）若ABCB3，求AC；

（2）若AD2 3，ACBACD ，求tanACD．
3

解：（1）在△ABC中，ABC  ，BC 2，
3
    
所以ABCB AB  CB cosABC  AB 3，
所以AB3. …… 2分
在△ABC中，由余弦定理，得AC2  AB2 BC2 2ABBCcosABC7.
因为AC 0，解得AC 7. …… 4分
 
（2）设ACD，则ACBACD  ，
3 3
在Rt△ACD中，
AD 2 3
因为AD2 3，所以AC   ， …… 6分
sin sin
在△ABC中，
  
BAC ACBABC  ， 0， ，
3 3
BC AC 2 2 3
由正弦定理，得  ，即  …… 9分
sinBAC sinABC   3 ，
sin  sin
3 2
   3 1 
所以2sin  sin，即2 cos sin sin，
3 2 2
整理，得 3cos2sin，
3 3
所以tan ，即tanACD . ……12分
2 2
21．（12分）
设函数 f(x)ex ex ax.
数学参考答案 第 6 页（共8页）
{{##{{QQQQAABBTIYYaAUQooggioAQoAQJBAJAAQAgQChQCwQFwiCkggCGgQEkQAkCAAGAAIoAGKRoAOAAMBAMMAsAAAAgARANBANBAABAA=A}#=}}#}（1）证明：当a=2时， f(x)是R上的增函数；
（2）当x0时， f(x)0，求a的取值范围.
解：（1）当a2时，f(x)ex ex 2x，导函数 f(x)ex ex 2． …… 1分
因为ex 0，所以ex ex≥2 exex 2，
当且仅当ex ex，即x0时，等号成立．
所以 f(x)≥0，
所以 f(x)是R上的增函数． …… 4分
（2）当a2时，由（1）可知， f(x)在(0，)上单调递增，
因为 f(0)0，所以当x0时， f(x)0．
当a2时，因为x0，所以 f(x)ex ex axex ex 2x0． …… 6分
当a2时， f(x)ex ex a，
a a2 4 a a2 4 a a2 4
令 f(x)0，ex  ，解得xln 或ln ，
2 2 2
a a2 4
因为a2，所以ln ln10，
2
a a2 4 2 a a2 4
ln ln ln 0，舍去．
2 a a2 4 2
a a2 4
记ln  x ，
2 0
当x(0，x )时，ex  1，ex0 ，
0
所以 f(x)0，f(x)单调递减， ……10分
又因为 f(0)0，
所以 f(x )0，与 f(x)0矛盾，不符合题意．
0
综上，a的取值范围是，2． ……12分
22．（12分）
已知函数 f(x)x2 xalnx存在两个极值点x ，x ，且x  x .
1 2 1 2
（1）求a的取值范围；
（2）若 f(x ) f(x )mx x ，求m的最小值.
2 1 1 2
数学参考答案 第 7 页（共8页）
{{##{{QQQQAABBTIYYaAUQooggioAQoAQJBAJAAQAgQChQCwQFwiCkggCGgQEkQAkCAAGAAIoAGKRoAOAAMBAMMAsAAAAgARANBANBAABAA=A}#=}}#}2x2 xa
解：（1）函数 f(x)的定义域为(0，)，且 f(x) . …… 1分
x
因为函数 f(x)存在两个极值点，
所以方程2x2 xa0在区间(0，)上有两个不等根. …… 2分

18a0

 1
由x x  0，
1 2 2

 a
xx  0
  1 2 2
1
得 a0.
8
 1 
所以a的取值范围为  ，0 . …… 5分
8
a
（2）由（1）知x x  0，
1 2 2
f(x ) f(x )
所以 f(x ) f(x )mx x 可化为m 2 1 .
2 1 1 2 xx
1 2
1
因为x x  ，0 x  x ，
1 2 2 1 2
1 1 1
所以0 x  ，  x  ，
1 4 4 2 2
f(x ) f(x ) x2 x alnx x2 x alnx
所以 2 1  2 2 2 1 1 1
xx xx
1 2 1 2
x
(x x )(x x 1)2xx ln 1
2 1 2 1 1 2 x
 2
xx
1 2
(x x )(x x ) x x x x
 1 2 1 2 2ln 1  1  2 2ln 1 . …… 9分
xx x x x x
1 2 2 2 1 2
1
x
令t x 1 ，t 2 2  1 1(0，1)，
x x 2x
2 2 2
1 1 2 (t1)2
设g(t)t 2lnt（0t1），则g(t)1   0，
t t2 t t2
所以函数g(t)在(0，1)上单调递增.
因为g(1)0，所以g(t)0，
所以m≥0，即实数m的最小值为0. ……12分
数学参考答案 第 8 页（共8页）
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