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第 3 课时 借助两个一次函数图象解决实际问题
1.结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的表
课标摘录 达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。
2.能用一次函数解决简单实际问题。
1.通过观察函数图象,能够从同一坐标系中的两个一次函数图象中获取信
息,理解两个一次函数图象交点的实际意义。
素养目标
2.利用函数图象,解决实际问题。
3.会建立函数的数学模型,解决较深层次的实际问题。
重点:利用在同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象解决实际问题。
教学重难点 难点:1.从函数的图象中提炼出有用的信息。
2.对在同一平面直角坐标系中的两个一次函数图象交点的理解。
在课堂教学中对于例题采用教师提出问题,学生讨论,学生回答,教师修正,
教学策略 板书的形式。采用学生自主学习与合作学习相结合的方式,以学生讨论,互
帮互助为主,教师指导为辅,给学生充分的讨论和考虑时间。
情境导入
某医药研究所开发了一种新药,在实际验药时发现,如果成人按规定剂量服用,那么每毫升
血液中含药量y(毫克)随时间x(小时)的变化情况如图所示:
(1)服药后 2 小时,血液中含药量最高,达到每毫升 6 毫克,接着逐步衰弱。
(2)服药后5小时,血液中含药量为每毫升 3 毫克。
(3)当x≤2时,y与x之间的函数表达式是 y= 3 x 。
(4)如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时,治疗疾病最有效,那么吃药后 1 小
时能发挥最佳药效。
新知初探
探究一 借助两个一次函数图象解决实际问题
活动1:如图所示,l 表示某公司产品的销售收入与销售量之间的关系,l 表示该公司产品的
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销售成本与销售量之间的关系,根据图象填空。
(1)当销售量为2 t时,销售收入= 2 000 元,销售成本= 3 000 元。
(2)当销售量为6 t时,销售收入= 6 000 元,销售成本= 5 000 元。(3)当销售量为 4 t 时,销售收入等于销售成本。
(4)当销售量 大于 4 t 时,该公司赢利(收入大于成本);当销售量 小于 4 t 时,该公司亏
损(收入小于成本)。
(5)当销售量等于 6 t 时,该公司赢利(收入减成本)1 000元。
(6)l 对应的函数表达式是 y= 1 000 x ,l 对应的函数表达式是 y= 500 x+ 2 000 。
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(7)你能借助(6)的结论求解(5)吗?
1 000x-(500x+2 000)=1 000,解得x=6。当销售量等于 6 t时,该公司赢利1 000元。
活动2:思考·交流
上题中,l 对应的一次函数y=kx+b,k 和b 的实际意义各是什么?设l 对应的一次函数
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y=kx+b,k 和b 的实际意义各是什么?
2 2 2 2
解:l 中,k=1 000,b=0,k 表示的是每销售1吨,销售收入是1 000元,b 表示未销售时,销售收
1 1 1 1 1
入为0;l 中,k=500,b=2 000,k 表示的是销售量每增加1吨,销售成本增加500元,b 表示未
2 2 2 2 2
销售时,销售所花的成本是2 000元。
意图说明
此探究活动培养了学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识。通过问题串的
精心设计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问
题。在此过程中渗透了数形结合的思想,同时发展学生的数学应用能力。
探究二 例题讲解
例题 图4 11是某景区游览路线示意图。甲在观景台1联系乙,发现乙在观景台2,于是沿
着游览路线追赶乙。图4 12中l,l 分别表示甲、乙两人到观景台1的路程s(单位:m)与追
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赶时间t(单位:min)之间的关系。
图4 11
图4 12
假设甲、乙两人保持现有的速度,根据图象回答下列问题:
(1)哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系?
(2)甲和乙哪个人的速度快?
(3)30 min内甲能否追上乙?
(4)到达观景台3后道路分岔,甲能否在到达观景台3前追上乙?
(5)设l 与l 对应的两个一次函数分别为s=k t+b 与s=k t+b ,k,k 的实际意义各是什么?
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甲、乙两人的速度各是多少?
解:(1)当t=0时,甲到观景台1的路程为0 m,即s=0,故l 表示甲到观景台1的路程与追赶时
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间之间的关系。(2)t从0增加到20时,l 上点的纵坐标增加了1 000,l 上点的纵坐标增加了600,即20 min
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内,甲行走了1 000 m,乙行走了600 m,所以甲的速度快。
(3)如图4 13所示,延长l,l,可以看出,当t=30时,l 上的对应点在l 上对应点的下方,这表
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明,30 min时甲尚未追上乙。
(4)在图4 13中,l 与l 交点P的纵坐标小于(800+1 300=)2 100,这说明,甲能在到达观景台
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3前追上乙。
(5)k 表示甲的速度,k 表示乙的速度。甲的速度是50 m/min,乙的速度是30 m/min。
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意图说明
进一步培养学生的识图能力和探究能力,调动学生学习的自主意识,通过问题串的精心设
计,引导学生根据实际问题建立适当的函数模型,利用该函数图象的特征解决这个问题。在
此过程中渗透数形结合的思想方法,发展学生的数学应用能力,加强学生运用一次函数的图
象分析、解决问题的能力,鼓励学生运用多种方法解决问题,提高学生的解题能力。
当堂达标
课堂小结
借助两个一次函数图象解决实际问题
1.横轴、纵轴表示的意义 2.直线与坐标轴的交点表
板书设计
示的意义
3.理解表达式中k,b的实际意义
教学反思
