文档内容
龙岩市 2023 年高中毕业班三月教学质量检测
数学试题
（满分:150 分考试时间:120 分钟）
注意事项:
1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.岩复数 z 满足（1-2i）＝(2+i)2，则|z|＝
A.5 B.√5 C.3 D.√3
2.若全集 U∈R，集合 A＝{x|y＝√5−x，x∈N}，B＝{y|y＝-x2+3}，
则图中阴影部分表示的集合为
A.∅ B.{0，1，2}
C.{3，4，5} D.{4.5}
3.已知向量⃗a＝（-3，0），⃗b＝（2.1），⃗c＝（λ,-1），λ∈R，若（⃗a
+2⃗b）⊥⃗c，则 6 在⃗a上的投影向址为
2 1 2√5 √5 6 3
A.（ ，− ） B.（ ，− ） C.（ ，− ） D.
5 5 5 5 5 5
6√5 3√5
（ ，− ）
5 5
4.算盘是我国一类重要的计算 1.1.下图形一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别
表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表 5，下面一粒珠子
（简称下珠）代表 1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例
如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位来拨动，百位数动一粒下珠至梁上，表示数字
105.现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多战动一粒珠子至
梁上，其它位置珠子不数动.设事件 A＝“表示的四位数为偶数”，事件 B＝“表示
的四位数大于 5050”，则 P（B|A）＝
1 5
A. B.
3 12
2 5
C. D.
3 6
5.已知两数 f（x）＝2|sinx|+cosx，则 f（x）的最小值为
A.−√5 B.-2
C.-1 D.0
6.已知函数f（x）＝sinx-xcosx,若a＝f（log e）,b＝f（ln3）,c＝f（sine）.则 a，b，c 的大
2
小关系为
A.b＞a＞c B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.c＞b＞a
7.比知 M 是圆 C:x2+y2＝2 上一个动点，且直线 l :m（x-3）-n（y-2）＝0 与直线
1
L :n（x-2）+m（y-3）＝0（m，n∈R，m2+n2≠0）相交于点 P，则|PM|的最小值是
2
A.4√2 B.3√2 C.2√2 D.√28.正方体 ABCD-A B C D 的棱长为 2，若点 M 在线段 BC，上运动，当△AMC 的周
1 1 1 1
长最小时，三棱能从 M-CB D 的外接球表面积为
1 1
A.4π B.8π C.16π D.32π
二、选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小圆给曲的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.下列说法正确的是
A.一组数 1，5，6，7，10，13，15，16，18，20 的第 75 百分位数为 16
B.在经验回归方程 y＝-0.6x+2 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，相应变量^y增
加
0.6 个单位
C.数据 a ，a ，a ，…，a ，的方差为 M，则数据 3a +1，3a +1，3a +1，…，
1 2 3 n 1 2 3
3a +1 的方差为 9M
n
50
1
D.一个梯木的方差 S2＝ ∑(x−2) 2，则这组样本数据的总和等于 100
50
i=1
2π
10.如图，已知 AO⊥平面 OBC，∠BOC＝ ，OA＝OB＝OC＝1，E 为 AB 的中点，
3
⃗AC＝3⃗AF,则
A. EF//OB
√5
B.OF＝
3
C.OE⊥平面ABC
3√10
D.直线 OE 与 OF 所成角的余弦值为
20
x2
11.已知双曲线C: - y2＝1的左，右焦点分别为F ，F ，左、右顶点分别为M，N，O为坐
4 1 2
标原点.直线 l 交双曲线 C 的右支于 P，Q 两点（不同于右顶点），且与双曲线 C 的
两条渐近线分别交于 A，B 两点，则
A.⃗OA·⃗OB为定值
B.|PA|＝|BQ|
4√5
C.点 P 到两条断近线的距离之和的最小值为
5
D.存在直线l使⃗MP·⃗MQ＝0
12.已知函数f （x）＝x-nlnx（n∈N）有两个零点，分别记为x ，y （x ＜y ）;对于 0＜α＜
n n n 2 n
β，存在 θ 使 f （β）-f （α）＝f ’（θ）（β-α），则
n n n
A.f （x）在（1，+∞）上单调递增
n
B.n＞e（其中 e＝2.71828…是自然对数的底数）
C.x -x ＜y -y
n+1 n n+1 n
D.2θ＜α+β三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知（a+x）（1+x)6的顺开式中x2的系数为21，则a＝_.
14.写出一个同时满足下列三个性质的函数f（x）＝____.
① f（x）的定义城为 R;② f（x）是奇函数;③ f（x+1）是偶函数.
15.欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出做大的训献，而
且把做学用到了几乎整个物理领域.函数 φ（n）以其首名研究者欧拉命名，称为欣
拉函数.在数论中，对于正整数 n，φ（n）是不大于 n 的正整数中与 n 互质的数的个
数，例如:φ（9）＝6，则log φ（32023 )＝___.
3
4
16.已知地物线 C:y2＝4x，直线 l 过点 G（0， ）且与 C 相交于 A，B 两点，若
3
∠AOB 的平分线过点E（1，1），则直线l的斜率为____.
四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或算步骤.
17.（本题满分 10 分）
S
已知等差数列{a }的首项为1.公差d≠0，前n项和为S ，且 n 为常数.
n n S
2n
（1）求数列{a }的通项公式;
n
n n+1 1
（2）{b }＝ − ，，证明:b +b +b +…+b ＜ .
n a a a a 1 2 3 n 3
n n+1 n+1 n+2
18.（本题满分 12 分）
c
在AABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanA+btanB＝ .
√3cosA
（1）求角 B;
（2）若 D 是 AC 边上的点，且 AD＝3DC＝3，∠A＝∠ABD＝θ，求 sinθ 的值
19.（本题满分 12 分）
2π
三棱柱ABC-A B C 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2,侧面A ACC ,为矩形，∠A AB＝ ,三棱
1 1 1 1 1 1 3
2√3
锥 C -ABC 的体积为 .
1 3
（1）求侧棱 AA 的长;
1
（2）侧棱 CC 上是否存在点 E，使得直线 AE 与平面 A BC 所成
1 1
√5
角的正弦值为 ？若存在，求出线段 C E 的长;若不存在，请说明
5 1
理由.
学科网（北京）股份有限公司20.（本题满分 12 分）
为了丰富做子们的校园生活，某校团委奉头，发起体育运动和文化项目比赛，经过
角逐.甲、乙两人进人最后的决赛.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两
局的人获得该天胜利，此时该天比赛结束.若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，
则其为最终冠军;若前两天甲、乙两人各赢一天，则第三天只进行一周附加赛，该附
1
加赛的状胜方为最终冠军.设每局此赛甲获胜的概率为 ，每局比赛的结果没有平周且
3
结果互相独立.
（1）记第一天需要进行的比赛局数为 X，求 X 的分布列及 E（X）;
（2）记一共进行的比赛局数为 Y，求 P（Y≤5）.
21.（本题满分 12 分）
x2 y2
已知精圆K: + ＝1（a＞b＞0）的左、右猫点分别为F (-2，0)，F (2，0)），过右线点
a2 b2 1 2
F 的直线 l 交椭圆 K 于 M，N 两点，以线段|MF |为直径的圆 C 与圆 C :x2+y2＝8 内切.
2 2 1
（1）求椭圆 K 的方程;
（2）过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E，过点 N 作 NQ⊥x 轴于点 Q，OM 与 NE 交于点 P，
√6
是否存在直线 l 健得△PMN 的面积等于 ？若存在，求出直线 l 的方程;若不存在，
2
请说明理由.
22.（本题满分 12 分）
2
已知函数 f（x）＝1nx，g（x）＝x− .
x
x +1
（1）若 x 湖足 f（x）＝ 0 ，证明:曲线 y＝f（x）在点 A（x ，1nx ）处的切线
0 x −1 0 0
0
也是曲线 y＝ex的切线;
（2）若 F（x）=f（x）-g（x），且 F’（x ）=F’（x ）（x ≠x ），
1 2 1 2
证明:F（x ）+F（x ）＜41n2-7.
1 2
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