文档内容
2024 届高三第一次质量监测
数学
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将
条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以
上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
3．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列可能是函数 的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司5．已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须
坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
7．已知正方体 的棱长为2，则以点 为球心， 为半径的球面与平面 的交线长
为（ ）
A． B． C． D．
8．对 ，当 时， ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下图为甲、乙两人在同一星期内每日步数的折线统计图，则（ ）
A．这一星期内甲的日步数的中位数为11600
B．这一星期内甲的日步数的极差大于乙的日步数的极差
C．这一星期内乙的日步数的方差大于甲的日步数的方差
D．这一星期内乙的日步数的上四分位数是7030
10．已知事件 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．如果 ，那么
学科网（北京）股份有限公司B．如果 ，那么
C．如果 与 相互独立，那么
D．如果 与 相互独立，那么
11．已知函数 的定义域为 ，且 ，函数 的图象关于点 对称，
，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． D．
12．已知 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在二项式 的展开式中，常数项是______．
14．已知同一平面内的单位向量 ，满足 ，则 ______．
15．已知随机变量 ，且 ，则 ______．
16．已知直线 与曲线 和 都相切，请写出符合条件的两条直线 的方程：______，
______．（对一空得2分，对两空得5分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
市场监管部门统计了某网红饮品小店在2023年4月至8月的销售收入 （单位：万元），得到以下数据：
月份 4 5 6 7 8
销售收入 10 12 11 12 20
（1）根据表中所给数据，求出 关于 的线性回归方程，并估计2023年9月份该小店的销售收入；
（2）为调查顾客对该小店的评价情况，随机抽查了200名顾客，得到如下列联表，请填写下面的 列联
学科网（北京）股份有限公司表，并判断能否有 的把握认为“顾客是否喜欢该网红饮品小店与性别有关联”．
喜欢 不喜欢 总计
男 100
女 30
总计 110
附：线性回归方程： ，
其中 ，
，
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
18．（12分）
设函数 ．
（1）求 的极值；
（2）对于 ，都有 ，求 的取值范围．
19．（12分）
如图，直三棱柱 中， ，平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）求二面角 的正弦值．
学科网（北京）股份有限公司20．（12分）
第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举办．中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男
子100米比赛．比赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛．已知甲在预赛
和半决赛中晋级的概率均为 ；乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为 和 ；丙在预赛和半决赛中晋级的
概率分别为 和 ，其中 ，甲、乙、丙三人晋级与否互不影响．
（1）试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小；
（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为 ，求三人中进入决赛的人数 的分布列和期望．
21．（12分）
如图，四棱锥 的底面为菱形， 底面 ， 分别是线段
的中点， 是线段 上的一点．
（1）若 是直线 与平面 的交点，试确定 的值；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求三棱锥 体积．
22．（12分）
已知函数 ．
（1）求证： ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若函数 在 上存在最大值，求 的取值范围．
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