文档内容
2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
数学（六）
注意事项：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填
写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数a的取值范
围是（ ）
A. B.
C. D.
2. 如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数 为
“等部复数”，则实数a的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 3 D. -3
3. 双曲线 的离心率为 ，且过点 ，则双曲线方程为（
）
A. B.
C. D.
4. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设 ，
用 表示不超过 的最大整数， 也被称为“高斯函数”，例如 ， ，
，设 为函数 的零点，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 已知点P是圆 上一点，若点P到直线 的距离为
1，则满足条件的点P的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
7. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有甲、乙、丙、丁4名运动员
要与1个“冰墩墩”站成一排拍照留恋，已知“冰墩墩”在最中间，甲、乙、丙、丁4名运动
员随机站于两侧，则甲、乙2名运动员站“冰墩墩”同一侧的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在正方体 中，点P在线段 上运动（包含端点），则直线
与 所成角 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2
分．
9. 圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ）
A. B.
C. D.
第2页/共5页
学科网（北京）股份有限公司10. 已知随机变量 服从二项分布 ，其方差 ，随机变量 服从正态分
布 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知直线 交椭圆 于 ， 两点， 是直线 上一点， 为
坐标原点，则（ ）
A. 椭圆 的离心率为
B.
C.
D. 若 ， 是椭圆 的左，右焦点，则
12. 已知函数 ，若经过点 且与曲线 相切的直线有两条，
则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量 ， ，则 ______．
14. 写出一个同时满足下列条件的非常数函数______．
①在 单调递增 ②值域 ③
15. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》
中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高
斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定
理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中，能
被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列的项
数为______．
16. 函数 的部分图象如图中实线所示，A，C为
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学科网（北京）股份有限公司的图象与x轴交点，且 ，M，N是 的图象与圆心为C的圆（虚线所
示）的交点，且点M在y轴上，N点的横坐标为 ，则圆C的半径为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
17. 已知数列 满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
18. 如图，在 中， ， ， ，点D在边BC上，且
．
（1）求BD；
（2）求 的面积．
19. 近年来，师范专业是高考考生填报志愿的热门专业．某高中随机调查了本校2022年参
加高考的100位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况，经统计，
首选志愿填报与性别情况如下表：（单位：人）
首选志愿为师范专业 首选志愿为非师范专业
女性 45 15
男性 20 20
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学科网（北京）股份有限公司假设考生选择每个科目 可的能性相等，且他们的选择互不影响．
（1）根据表中数据，能否有99%的把握认为首选志愿为师范专业与性别有关？
（2）若以上表中的频率代替概率，从该校考生中随机选择8位女生，试估计选择师范专业
作为首选志愿的人数．
参考公式： ，其中 ．
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.001
. .
2706 3.841 6.635 10828
20. 如图，四棱锥 中， 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， ，
， ， ， ，点E在棱PC上．
（1）证明：平面 平面PAB；
（2）已知点E是棱PC上靠近点P的三等分点，求二面角 的余弦值．
21. 已知直线 过抛物线 的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）动点A在抛物线C的准线上，过点A作抛物线C的两条切线分别交x轴于M，N两点，
当 的面积是 时，求点A的坐标．
22. 已知函数 ， ．
（1）求函数 的最值；
（2）若关于x的不等式 恒成立，求实数k的取值范围．
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