2024北京西城高三一模数学试题及答案(1)_2024年4月_024月合集_2024届北京市东城区高三一模

2024 北京西城高三一模 数 学 2024.4 本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集U =R ，集合A={x|x3}， 第1页/共10页 B = { x | − 2 ≤ x ≤ 2 } ，则A B = U （A）(2,3) （B） ( −  , − 2 ) ( 2 , 3 ) （C） [ 2 , 3 ) （D） ( −  , − 2 ] [ 2 , 3 ) （2）下列函数中，既是偶函数又在区间 ( 0 , +  ) 上单调递增的是 （A） y = x 2 + x （B）y=cosx （C） y = 2 x （D）y=log |x| 2 （3）在 ( x − 2 x 2 ) 6 的展开式中，常数项为 （A） 6 0 （B）15 （C）−60 （D） − 1 5 （4）已知抛物线 C 与抛物线 y 2 = 4 x 关于直线 y= x对称，则C的准线方程是 （A） x = − 1 （B）x=−2 （C）y=−1 （D）y=−2 1 （5）设a=t− ， t b = t + 1 t ， c = t ( 2 + t ) ，其中 − 1  t  0 ，则 （A）bac （B）cab （C） b  c  a （D）cba （6）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸 上小正方形的边长为1，则c(a−b)= （A）−1 （B）1 （C）−7 （D） 7 x2 +x, −2x0, （7）已知函数 f(x)= 若  − x , 0≤xc. f ( x ) 存在最小值，则c的最大值为 1 （A） （B） 16 1 8 1 1 （C） （D） 4 2（8）在等比数列 第2页/共10页 { a n } 中， a n 0  0 ．则“ a n 0  a n 0 + 1 ”是“a a ”的 n0+1 n0+3 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）关于函数 f(x)=sinx+cos2x，给出下列三个命题： ① f ( x ) 是周期函数； ② 曲线y= f(x)关于直线 x = π 2 对称； ③ f(x)在区间[0,2π)上恰有 3 个零点． 其中真命题的个数为 （A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3 （10）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据 实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率 y 随时间 t （小时）变化的 趋势可由函数y=1−0.6t0.27近似描述，则记忆率为 5 0 % 时经过的时间约为 （参考数据： lg 2  0 .3 0 ， lg 3  0 .4 8 ） （A） 2 小时 （B）0.8小时 （C） 0 . 5 小时 （D）0.2小时 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）若复数z满足 (1 + 2 i )  z = 3 + i ，则 | z | = _______． （12）已知 ,  ( 0 , π )  ．使tan(+)tan(−)成立的一组 , 的值为=_______， =_______． （13）双曲线 M : x 2 − y 3 2 = 1 的渐近线方程为_______；若 M 与圆 O:x2 + y2 =r2 (r 0)交 于 A , B , C , D 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 r = _______． （14）在数列 { a n } 中， a 1 = 2 , a 2 = − 3 ．数列{b }满足 n b n = a n + 1 − a n ( n  N * ) ．若{b }是公差 n 为 1 的等差数列，则{b }的通项公式为 n b n = _______， a n 的最小值为_______． （15）如图，正方形 A B C D 和矩形ABEF所在的平面互相垂直．点P在正方形 A B C D 及其 内部运动，点 Q 在矩形ABEF及其内部运动．设 A B = 2 , A F = 1 ，给出下列四个结论：① 存在点 第3页/共10页 P , Q ，使PQ=3； ② 存在点 P , Q ，使 C Q // E P ； ③ 到直线 A D 和 E F 的距离相等的点 P 有无数个； ④ 若 P A ⊥ P E ，则四面体 P A Q E 1 体积的最大值为 ． 3 其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题14分） 如图，在三棱柱 A B C − A 1 B 1 C 1 中，侧面 A 1 A C C 1 为正方形， A B ⊥ A C ， A B = A C = 2 ， D为 B C 的中点． （Ⅰ）求证： A 1 C // 平面 A B 1 D ； （Ⅱ）若 A 1 C ⊥ A B ，求二面角 D − A B 1 − A 1 的余弦值． （17）（本小题13分） 在 △ A B C 中， a ta n B = 2 b s in A ． （Ⅰ）求  B 的大小； （Ⅱ）若 a = 8 ，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求 △ A B C 的面积． 条件①： B C 边上中线的长为 21； 条件②： c o s A = − 2 3 ； 条件③： b = 7 ． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按 第一个解答计分．（18）（本小题13分） 第4页/共10页 1 0 米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击 6 0 发子 弹，总环数排名前 8 的选手进入决赛．三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下： 环数 6 环 7 环 8 环 9 环 10环 甲的射击频数 1 1 10 24 24 乙的射击频数 3 2 1 0 3 0 15 丙的射击频数 2 4 1 0 1 8 2 6 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立． （Ⅰ）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由； （Ⅱ）若甲、乙各射击 2 次，估计这 4 次射击中出现 2 个“ 9 环”和 2 个“ 1 0 环”的概率； （Ⅲ）甲、乙、丙各射击 1 0 次，用 X i ( i = 1 , 2 , 3 ) 分别表示甲、乙、丙的 1 0 次射击中大于 a 环的次数，其中 a  { 6 , 7 , 8 , 9 } ．写出一个 a 的值，使 D ( X 3 )  D ( X 2 )  D ( X 1 ) ． （结论不要求证明） （19）（本小题15分） 已知椭圆 G : x a 2 2 + y b 2 2 = 1 ( a  b  0 ) 的一个顶点为 A ( − 2 , 0 ) 1 ，离心率为 ． 2 （Ⅰ）求椭圆 G 的方程； （Ⅱ）设 O 为原点．直线 l 与椭圆 G 交于 C , D 两点（ C , D 不是椭圆的顶点），l与直线 x = 2 交于点 E ．直线 A C , A D 分别与直线OE交于点M,N ．求证：|OM |=|ON|． （20）（本小题15分） 已知函数 f ( x ) = x + ln ( a x ) + 1a x e x ． （Ⅰ）当a=1时，求曲线 y = f ( x ) 在点 (1 , f (1 ) ) 处切线的斜率； （Ⅱ）当a=−1时，讨论 f(x)的单调性； （Ⅲ）若集合 { x | f ( x ) ≥ − 1 } 有且只有一个元素，求a的值．（21）（本小题15分） 对正整数 第5页/共10页 m ≥ 3 , n ≥ 6 ，设数列 A : a 1 , a 2 , , a n ，a {0,1}(i=1,2, ,n)． i B 是m行n列 的数阵，b 表示 ij B 中第 i 行第 j列的数，b {0,1}(i=1,2, ,m; j=1,2, ,n)，且 ij B 同时满足下列三个条件： ① 每行恰有三个 1 ；② 每列至少有一个 1 ；③ 任意两行不相同． 记集合 { i | a b1 i1 + a 2 b i2 + + a n b in = 0 或 3 , i = 1 , 2 , , m } 中元素的个数为 K ． 1 1 1 0 0 0   （Ⅰ）若A:1,1,1,0,0,0，B= 1 0 1 1 0 0 ，求K 的值；     0 0 0 1 1 1 （Ⅱ）若对任意p,q{1,2, ,n}(pq)，B中都恰有r 行满足第 p 列和第q列的数均为1 ． （ⅰ） B 能否满足 m = 3 r ？说明理由； （ⅱ）证明： K ≥ 1 2 4 ( n 2 − 4 n ) ． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）A （ 4 ）C （ 5 ）C （ 6 ）A （ 7 ）A （ 8 ）B （ 9 ）D （10）C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） π π （11） 2 （12） （答案不唯一） 3 3 （13）y= 3x 第6页/共10页 3 （14） n − 6 − 1 3 （15）① ③ ④ 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分） 解：（Ⅰ）连接 A 1 B ，设AB AB =E，连接 1 1 D E ． ………1分 因为在三棱柱 A B C − A 1 B 1 C 1 中，四边形 A 1 A B B 1 是平行四边形， 所以 E 为 A 1 B 的中点． ………2分 因为 D 为 B C 的中点， 所以 D E // A C1 ． ………3分 又因为 A C1  平面 A B 1 D ，DE平面 A B 1 D ， 所以 A C1 // 平面 A B 1 D ． ………5分 （Ⅱ）因为AB⊥ AC， 1 A B ⊥ A C ， 所以 A B ⊥ 平面 A 1 A C C 1 ． ………6分 所以 A B ⊥ A A 1 ． 又 A A 1 ⊥ A C ，所以AB, AC, AA 两两相互垂直． 1 如图建立空间直角坐标系 A − x y z ．………7分 则 A ( 0 , 0 , 0 ) ，B (2,0,2)， 1 D (1 ,1 , 0 ) ， C ( 0 ,2 , 0 ) ． 所以 A B 1 = ( 2 , 0 , 2 ) ，AD=(1,1,0)． 设平面 A B 1 D m AB =0, 的法向量为m=(x,y,z)，则   1 即  m AD=0,  2 x x + + y 2 z = = 0 . 0 , 令 x = − 1 ，则y=1，z=1．于是m=(−1,1,1)． ………10分 因为AC ⊥平面AABB ， 1 1 所以 A C = ( 0 , 2 , 0 ) 是平面AABB 的一个法向量． ………11分 1 1 m AC 3 所以 cosm,AC= = ． ………13分 |m|| AC | 3 由题设，二面角D−AB −A 的平面角为钝角， 1 1所以二面角 第7页/共10页 D − A B 1 − A 1 的余弦值为 − 3 3 ． ………14分 （17）（共13分） 解：（Ⅰ）由 a ta n B = 2 b s in A ，得 a s in B = 2 b s in A c o s B ． ………1分 在 △ A B C 中，由正弦定理得 s in A s in B = 2 s in A s in B c o s B ． ………3分 因为 s in A  0 , s in B  0 ， 1 所以cosB= ． ………4分 2 又 0   B  π ， ………5分 所以  B = π 3 ． ………6分 （Ⅱ）选条件①： B C 边上中线的长为 2 1 ． ………7分 设 B C 边中点为 M ，连接 A M ，则AM = 21， B M = 4 ． 在 △ A B M 中，由余弦定理得 A M 2 = A B 2 + B M 2 − 2 A B  B M  c o s B ，………9分 即 2 1 = A B 2 + 1 6 − 8 A B  c o s π 3 ． 整理得 A B 2 − 4 A B − 5 = 0 ． 解得 A B = 5 或 A B = − 1 （舍）． ………11分 所以 △ A B C 的面积为 S △ A B C = 1 2 A B  B C  s in B = 1 0 3 ． ………13分 选条件③： b = 7 ． ………7分 在 △ A B C 中，由余弦定理得 b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c c o s B ， ………9分 即 7 2 = 8 2 + c 2 − 1 6 c  c o s π 3 ． 整理得c2 −8c+15=0． 解得 c = 3 或c=5． ………11分 当 c = 3 时， △ A B C 的面积为 S △ A B C = 1 2 a c s in B = 6 3 ． 当 c = 5 时，△ABC的面积为 S △ A B C = 1 2 a c s in B = 1 0 3 ． ………13分 （18）（共13分） 解：（Ⅰ）甲进入决赛，理由如下： 丙射击成绩的总环数为26+47+108+189+2610=542， 甲射击成绩的总环数为16+17+108+249+2410=549． 因为549542，所以甲进入决赛． ………3分（Ⅱ）根据题中数据，“甲命中 第8页/共10页 9 环”的概率可估计为 2 6 4 0 = 2 5 ； “甲命中 1 0 环” 的概率可估计为 2 6 4 0 = 2 5 ； 30 1 “乙命中9环” 的概率可估计为 = ； 60 2 “乙命中 1 0 环” 的概率可估计为 1 6 5 0 = 1 4 ． ………5分 所以这 4 次射击中出现 2 个“ 9 环”和 2 个“ 1 0 环”的概率可估计为： 2 1 2 1 2 1 1 13 ( )2( )2 +( )2( )2 +C1( )2C1(  )= ． ………10分 5 4 5 2 2 5 2 2 4 100 （Ⅲ） a = 7 和 8 ．（写出一个即可） ………13分 （19）（共15分） 解：（Ⅰ）由题设，  a c a a = = 2 − 2 , 1 , 2 2 b = c 2 . ………3分 解得 a 2 = 4 , b 2 = 3 ． 所以椭圆 G x2 y2 的方程为 + =1． ………5分 4 3 （Ⅱ）由题设，直线 l 的斜率存在，设其方程为y=kx+m． m 则E(2, 2k+m),直线OE的方程为y=(k+ )x． ………6分 2 由  y 3 x = 2 k + x 4 + y m 2 , = 1 2 , 得 ( 4 k 2 + 3 ) x 2 + 8 k m x + 4 m 2 − 1 2 = 0 ． ………7分 由 Δ = 4 8 ( 4 k 2 − m 2 + 3 )  0 ，得m2 4k2 +3． 设 C ( x 1 , y 1 ) ， D ( x 2 , y 2 ) 8km ，则x +x =− ， 1 2 4k2 +3 x 1 x 2 = 4 m 4 k 2 2 − + 1 3 2 ． ………8分 y 直线AC 的方程为y= 1 (x+2)． ………9分 x +2 1 y m 联立直线AC 和OE得 1 (x+2)=(k+ )x． x +2 2 1 2y 4y 4(kx +m) 解得x = 1 = 1 = 1 ． ………11分 M m mx +4k mx +4k (k+ )(x +2)− y 1 1 2 1 1 4(kx +m) 同理可得x = 2 ． N mx +4k 2所以 第9页/共10页 x M + x N = 4  ( k x 1 + m ) ( m ( x m 2x + 1 + 4 k 4 ) k + ) ( ( m k x 2 x 2 + + m 4 k ) ( ) m x 1 + 4 k ) ． ………12分 因为 ( k x 1 + m ) ( m x 2 + 4 k ) + ( k x 2 + m ) ( m x 1 + 4 k ) = = = 2 2 0 k k ， m m x x 1 2 ( 4 m 2 4 k + 2 + ( − 3 4 1 k 2 2 ) + − m 8 2 ) k m ( x 1 ( 4 4 k + k 2 2 + x 2 + 3 ) m + 2 8 ) k + m 8 k m 4 ( k 4 k 2 2 + + 3 3 ) 所以 x M + x N = 0 ，即点 M 和点 N 关于原点 O 对称． 所以|OM |=|ON|． ………15分 （20）（共15分） 解：（Ⅰ）当 a = 1 时， f ( x ) = x + ln x + x e x ， 所以 f ( x ) = 1 + 1 x + (1 + x ) e x ． ………2分 所以 f (1 ) = 2 e + 2 ． 所以曲线 y = f ( x ) 在点 (1 , f (1 ) ) 处切线的斜率为2e+2． ………4分 （Ⅱ）当a=−1时， f(x)=x+ln(−x)−xex， f ( x ) 的定义域为 ( −  , 0 ) ． f ( x ) = 1 + 1 x − (1 + x ) e x = (1 + x ) ( 1 x − e x ) ． ………6分 因为 1 x − e x  0 ， 所以 x  ( −  , − 1 ) 时， f ( x )  0 ； x  ( − 1 , 0 ) 时， f ( x )  0 ． 所以 f ( x ) 的单调递增区间为(−,−1)；单调递减区间为 ( − 1 , 0 ) ． ………9分 1 ex （Ⅲ） f(x)=(1+x)( + )． x a 当 a  0 时， f(x)的定义域为(0,+)． 所以 f ( x )  0 ， f ( x ) 在 ( 0 , +  ) 上单调递增． 因为 f ( 1 a )  0 ，所以 a  0 不合题意． ………11分 当 a  0 时， f(x)的定义域为 ( −  , 0 ) ． 因为x(−,−1)时， f ( x )  0 ；x(−1,0)时， f ( x )  0 ． 所以 f(x)的单调递增区间为(−,−1)；单调递减区间为 ( − 1 , 0 ) ． 1 所以 f(x) = f(−1)=−1+ln(−a)− ． ………13分 max ae 1 设g(x)=−1+ln(−x)− ，则 ex g ( x ) = 1 x + e 1 x 2 = e x e +2 x 1 ， 1 1 因为x(−,− )时，g(x)0；x(− ,0)时，g(x)0， e e 1 1 所以g(x)的单调递减区间为(−,− )；单调递增区间为(− ,0)． e e所以 第10页/共10页 g ( x ) m in = g ( − 1 e ) = − 1 ． 所以集合 { x | f ( x ) ≥ − 1 } 有且只有一个元素时 a = − 1 e ． ………15分 （21）（共15分） 解：（Ⅰ）记 ti = a b1 i1 + a 2 b i2 + + a n b in ． 因为 t1 = 3 , t 2 = 2 , t3 = 0 ， ………3分 所以 K = 2 ． ………4分 （Ⅱ）（ⅰ） B 不满足 m = 3 r ，理由如下： 假设B满足 m = 3 r ． 因为 B 的每行恰有三个1，故 B 中满足 b i p = b iq = 1 的 ( i , p , q ) 的个数共有3m个． 另一方面，从 B 中任选两列共有 C 2n 种可能，且对任意两列，都恰有 r 行使得 这两列的数均为1，故 B 中满足b =b =1的 ip iq ( i , p , q ) 的个数共有 r C 2n 个． 所以 3 m = r C 2n ． 当 m = 3 r 时，得C2 =9，此方程无解． n 所以 B 不满足 m = 3 r ． ………9分 （ⅱ）由（ⅰ）可得 3 m = r C 2n ，即 m = r C 3 2n ． 下面考虑满足 b i p = b iq = 1 ，但 a p  a q 的(i,p,q)的个数： 对 B 中满足 ti  0 和3的m−K 行，每行恰有两组 ( p , q ) 使 b i p = b iq = 1 且 a p  a q ， 所以满足 b i p = b iq = 1 ，但 a p  a q rC2 的(i,p,q)的个数为2(m−K)=2( n −K)． 3 ………11分 设数列 A 中有 x 项为 1 ，n−x项为 0 ． 满足b =b =1，但a a 的(p,q)的个数为 ip iq p q x ( n − x ) ． 所以满足 b i p = b iq = 1 ，但 a p  a q 的(i,p,q)的个数为 r x ( n − x ) ． ………13分 rC2 所以rx(n−x)=2( n −K)． 3 rC2 rx(n−x) r 所以K = n − = (3x2 −3nx+n2 −n) 3 2 6 ≥ r 6 ( 3 n 4 2 − 3 n 2 2 + n 2 − n ) = r 6 ( n 4 2 − n ) ≥ 1 2 4 ( n 2 − 4 n ) ． ………15分