文档内容
蚌埠市 2024 届高三年级第三次教学质量检查考试
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
务必擦净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．己知平面向量 ，且 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
3．已知曲线 ，则“ ”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．记数列 的前n项和为 ，若 是等差数列， ，则 （ ）
A． B． C．0 D．4
6． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
7．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ，且 ，则下面四种情形中，对
学科网（北京）股份有限公司应样本的标准差最小的一组是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知抛物线 ，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足
为N，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知函数 在区间 上单调递增，则 的值可以是（ ）
A． B．1 C． D．
10．科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为 ，空气温度
保持不变，则t分钟后物体的温度 （单位： ）满足： ．若空气温度为
，该物体温度从 （ ）下降到 ，大约所需的时间为 ，若该物体温度从 ，
下降到 ，大约所需的时间分别为 ，则（ ）（参考数据： ）
A． B． C． D．
11．已知正方体 棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱
上的动点（包括点 ），已知 ，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A．无论M，N在何位置，AP， 为异面直线 B．若M是棱 中点，则点P的轨迹长度为
C．M，N存在唯一的位置，使 平面 D．AP与平面 所成角的正弦最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
学科网（北京）股份有限公司12．函数 的定义域为__________．
13．已知曲线 和 ，若C与 恰有一个公共点，则实数
_________；若C与 恰有两个公共点，则实数m的取值范围是_________．
l4．已知 的角A，B，C满足 ，其中符号 表示不大于
x的最大整数，若 ，则 _________．
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知双曲线 的左顶点是 ，一条渐近线的方程为 ．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）设直线 与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
16．（15分）
寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑
步的概率为 ，跳绳的概率为 ，在下雪天，他跑步的概率为 ，跳绳的概率为 ．若前一天
不下雪，则第二天下雪的概率为 ，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为 ．已知寒假第一天不
下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第n天不下雪的
概率为 ．
（1）求 的值，并证明 是等比数列；
（2）求小明寒假第n天通过运动锻炼消耗能量的期望．
17．（15分）
如图，在四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是以PD为底的等腰三角形，
，E在PD上， ．
学科网（北京）股份有限公司（1）证明：平面 平面ABCD；
（2）求二面角 的余弦值．
18．（17分）
已知函数 ．
（1）当 时，证明： ；
（2）若 ，求实数a的取值范围．
19．（17分）
对于无穷数列 ，我们称 （规定
）为无穷数列 的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为
，它具有性质 ．
（1）证明： ；
（2）记 ．
证明： （其中i为虚数单位）；
（3）以函数 为指数型母函数生成数列 ，
学科网（北京）股份有限公司．其中 称为伯努利数．
证明： ．且 ．
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数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D A B C B C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ABC BC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
13．0或4； （答对第一空给2分，答对第二空给3分）
14．1
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）由题意知 ，且 ， 2分
，
所以双曲线的离心率 ． 5分
（2）由（1）知双曲线方程为 ，
将 即 代入 ，得 ， 9分
因而 ，
所以 ． 13分
16．（15分）解：（1）依题意， ，
学科网（北京）股份有限公司． 6分
依题意
整理得 ，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列． 9分
（2）由（1），寒假第n天不下雪的概率 ， 11分
从而小明寒假第n天跑步的概率为
， 13分
则他第n天通过运动锻炼消耗能量为
． 15分
17．（15分）
解：（1）由题意知 ，则在 中，
，
，从而 ， 3分
中， ，
则
， 5分
又 ，所以 平面PAD，
而 平面ABCD，
∴平面 平面ABCD． 8分
（2）由（1）知 平面PAD， 平面PAD，
，
学科网（北京）股份有限公司，
所以 为等边三角形， 10分
如图，在平面PAD内作 ，
则 平面ABCD，
以DA，DB，DH分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则 ， 12分
从而
显然平面ABC的一个法向量为
设平面PBC的法向量为 ，则
即
取 ，
记二面角 的平面角为 ，则
即二面角 的余弦值为 ． 15分
18．（17分）
解：（1）记 ，则 ， 2分
因为 ，所以 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 单调递增，
从而 ，即 ． 4分
当 时 等价于 ，记 ，
则 单调递增， 6分
所以 ，即 ．
综上，当 时， ． 8分
（2） 等价于 ，记 ，
则 ，
所以题设等价于当 时， 即 ．
当 时， ，不合题意． 10分
当 时，
存在 ，
因此当 ，即 不成立，不合题意． 13分
当 时， ，
记 ，由于 ，所以 ，故
学科网（北京）股份有限公司从而 在 单调递减， 恒成立，符合题意．
综上，实数a的取值范围是 ． 17分
19．（17分）
解：（1）令 ，则 ．
由 ，令 ，则 ．
因为 ，故 ． 5分
（2）证明：因为 ，
，
，
，
，
所以 11分
（3）证明：令 ，则有
， 14分
因此
学科网（北京）股份有限公司故 且 ，即 ． 17分
（以上答案仅供参考，其它做法请参考以上评分标准赋分）
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