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2023 届普通高等学校招生全国统一考试
9 月联考
数学(理科)
全卷满分150分,考试时间120 分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂
其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 , 则
A. B. C. D.
2. 已知复数 , 且 , 则
A. 1 B. -1 C. 0 D. -2
3.若 的边 上两点 满足 , 则
A. B.
C. D.
4.已知函数 如图是给定 的值, 求其对应的函数值 的程序框图,
则
A. ①处填否,②处填是
B. ①处填是,②处填否
C. ①处填是,②处填是
D. ①处填否,②处填否
5. 若 满足约束条件 则 的最小值为
A. 2 B. -2 C. -4 D. -6
6.已知甲、乙两班各 50 人, 下表为某次数学考试的成绩情况:
分数段 [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150]
甲班人数 1 3 9 16 10 7 4
乙班人数 3 2 5 14 11 8 7
各分数段成绩视为均匀分布, 有以下结论:①甲班平均成绩低于乙班;②甲班成绩的中位数与乙班相
同;③甲班成绩的方差比乙班成绩的方差小.其中正确的序号是
A.① B.①③ C.②③ D.①②③
学科网（北京）股份有限公司7. 已知等差数列 满足 , 则
A. B. C. D.
8.下列四个选项中的函数, 其图象可能是下图的是
A. B. C. D.
9. 已知抛物线 上有三点 的垂心在 轴上, 两点的纵坐标分别为 2,4 ,则点
的纵坐标为
A. -2 B. -4 C. -6 D. -8
10. 在四棱锥 中, 平面 平面 ， ，
为 的中点, 则下列选项中不正确的是
A. 平面 B. 平面
C. 平面 平面 D. 点 到平面 的距离为 1
11. 已知四点 , 四边形 有内切圆, 则点 的轨迹是
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
12. 已知曲线 与 的两条公切线所成角的正切值为 , 则
A. 2 B. C. D.
二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分。
13. 已知数列 为等比数列, , 则 _____.
14.从2名医生、4名护士中选取1名医生、2名护士支援一线抗疫, 护士甲恰被选中的概率为_____.
15. 已知函数 , 则 的解集为_____.
16. 已知球 的半径为 , 球面上有不共面的四个点 , 且 , 则四面体
体积的最大值为_____.
三、解答题: 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (10 分)
学科网（北京）股份有限公司已知数列 满足 为等差数列.
(1) 求 的通项公式;
学科网（北京）股份有限公司(2) 求满足不等式 的最大正整数 .
18. (12 分)
每年的3月21日是世界睡眠日,保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠,某机构调查参加体
育锻炼对睡眠的影响,从辖区内同一年龄层次的人员中,常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中,
各抽取了100人, 通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位:小时), 并绘制出如下频率分
布直方图.
(1)根据频率分布直方图,求常参加体育锻炼人员一周内的平均睡眠时间 (同一组的数据用该组区间的
中点值代替);
(2)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”,每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠
不足”,请根据已知条件完成下列 列联表,并判断是否有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体
育锻炼”有关.
睡眠足 睡眠不足 总计
常参加体育锻炼人员
不常参加体育锻炼人员
总计
附: , 其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
学科网（北京）股份有限公司19. (12 分)
在平面四边形 中, .
(1) 若 , 求 ;
(2) 若 的中点为 , 求 .
20 .(12 分)
在三棱柱 中, 平面 平面 , 三角形 是等边三角
形, .
(1) 证明: 平面 平面 ;
(2) 求二面角 的正弦值.
21. (12 分)
已知椭圆 的左焦点为 ,上、下顶点分别为 , .
(1) 求椭圆 的方程;
(2) 若椭圆上有三点 满足 , 证明: 四边形 的面积为定值.
22. (12 分)
已知函数 .
(1) 当 时, 证明: 时, ;
(2) 当 时, 证明: 在 上有 3 个零点.
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