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江苏省南通市 2024 届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题
一、単项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.已知集合 ,则集合 的子集个数为（ ）
A.32 B.16 C.8 D.4
2.在梯形ABCD中, ,且 ,点 是BC的中点,则 （ ）
A. B. C. D.
3. 的展开式的常数项为( )
A.-21 B.-35 C.21 D.35
4.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上、下底面边长分别为 ,侧棱长为 的正四棱
台，则该台基的体积约为（ ）
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知点 为抛物线 上一点,若抛物线 在点 处的
切线恰好与圆 相切,则 （ ）
A. B.-2 C.-3 D.-4
6.已知 ,则 （ ）
A. B. C. D.
7.某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠
军．已知甲、乙两人水平相当，记事件 表示“甲获得冠军”，事件 表示“比赛进行了五局”,则
（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司8.设定义域为 的偶函数 的导函数为 ,若 也为偶函数,且
,则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每个小题给出的选项中,有多项符合
题目要求、全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知 都是复数,下列正确的是（ ）
A.若 ,则 B.若 ,则
C、若 ,则 D.若 ,则
10.在数列 中,若对 ,都有 ( 为常数),则称数列 为“等差比数列”, 为公差
比,设数列 的前 项和是 ,则下列说法一定正确的是( )
A.等差数列 是等差比数列
B.若等比数列 是等差比数列,则该数列的公比与公差比相同
C.若数列 是等差比数列,则数列 是等比数列
D.若数列 是等比数列,则数列 等差比数列
11.在棱长为2的正方体 中,点 是棱 的中点,点 在底面ABCD内运动(含边界),则(
)
A.若 是棱CD的中点,则 平面
B.若 平面 ,则 是BD的中点
C.若 在棱AD上运动(含端点),则点F到直线 的距离最小值为
D.若 与 重合时,四面体 的外接球的表面积为
三、填空题（本题共3小题,每小题5分,共15分.)
学科网（北京）股份有限公司12.已知函数 则 _____________.
13.在平面直角坐标系xOy中, 分别是双曲线 的左,右焦点,设点 是 的右支上一点,则
的最大值为_____________.
14.定义:[x]表示不大于 的最大整数, 表示不小于 的最小整数,如 .设函数
在定义域 上的值域为 ,记 中元素的个数为 ,则 ___________，
_____________.(第一空2分,第二空3分)
四、解答题（本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
15.(本小题满分13分)
如图,正方形ABCD是圆柱 的轴截面,已知 ,点 是 的中点,点 为弦BE的中点.
(1)求证:OM∥平面ADE;
1
(2)求二面角D—OM—E的余弦值.
1
16.(本小题满分15分)
跑步是人们日常生活中常见的一种锻炼方式，其可以提高人体呼吸系统和心血管系统机能,抑制人体癌细胞
生长和繁殖.为了解人们是否喜欢跑步,某调查机构在一小区随机抽取了40人进行调查,统计结果如下表.
喜欢 不喜欢 合计
男 12 8 20
女 10 10 20
合计 22 18 40
（1）根据以上数据，判断能否有 的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关?
学科网（北京）股份有限公司附: ,其中 .
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
（2）该小区居民张先生每天跑步或开车上班,据以往经验,张先生跑步上班准时到公司的概率为 ,张先生跑
步上班迟到的概率为 .对于下周（周一~周五）上班方式张先生作出如下安排:周一跑步上班,从周二开始,
若前一天准时到公司,当天就继续跑步上班,否则,当天就开车上班,且因公司安排,周五开车去公司(无论周四
是否准时到达公司).设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为 ,求 的概率分布及
数学期望 .
17.(本小题满分15分)
在 中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 ,其中 为 的面积.
(1)求角 的大小;
(2)设 是边BC的中点,若 ,求AD的长.
18.(本小题满分17分)
在平面直角坐标系xOy中,点A,B分别是椭圆 的右顶点,上顶点,若 的离心率为
,且 到直线AB的距离为 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)过点 的直线 与椭圆 交于M,N两点,其中点 在第一象限,点 在 轴下方且不在 轴上,设直
线BM,BN的斜率分别为 .
①求证: 为定值,并求出该定值;
②设直线BM与 轴交于点 ,求 的面积 的最大值.
19.(本小题满分17分)
学科网（北京）股份有限公司已知函数 ,且 在 上的最小值为0.
(1)求实数 的取值范围;
(2)设函数 在区间 上的导函数为 ,若 对任意实数 恒成立,则称函数
在区间 上具有性质 .
①求证:函数 在 上具有性质 ;
②记 ,其中 ,求证: .
学科网（北京）股份有限公司2024 年高考适应性考试（三）
数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B A C B A A
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 AD BCD ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12． 13． 14．3
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
（1）证明：取AE的中点N，连结DN，FN．
在△AEB中，M，N分别是EB，EA的中点，
所以MN∥AB，且AB＝2MN．
在正方形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，
又点O 是CD的中点，
1
所以OD∥AB，且AB＝2OD．
1 1
所以MN∥OD，且MN＝OD，
1 1
所以四边形MNDO 是平行四边形， ………………………………3分
1
所以OM∥DN．
1
又DN 平面ADE，OM 平面ADE，
1
所以OM∥平面ADE． ………………………………6分
1
学科网（北京）股份有限公司（2）解：因为AB是圆O的直径，E是 的中点，且AB＝4，
所以OE⊥OB，且OE＝OA＝OB＝2．
以O为坐标原点，以OE，OB，OO 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示
1
的空间直角坐标系O－xyz．
依题意，O(0，0，0)，O(0，0，4)，B(0，2，0)，E(2，0，0)，M(1，1，0)，
1
A(0，－2，0)，D(0，－2，4)． ………………………………7分
所以 ， ， ．
设 是平面OMD的法向量，
1
则 即 取x＝4，得y＝0，z＝1，
1 1 1
所以 是平面OMD的一个法向量． ………………………………9分
1
设 是平面OME的法向量，
1
则 即 取x＝2，得y＝2，z＝1，
2 2 2
所以 是平面OME的一个法向量．………………………………11分
1
所以 ．
设二面角D－OM－E的大小为θ，
1
据图可知， ，
所以二面角D－OM－E的余弦值为 ． ………………………………13分
1
16．（本小题满分15分）
解：（1）假设H：人们对跑步的喜欢情况与性别无关．
0
根据题意，由2×2列联表中的数据，
可得 ， ………………………3分
因为 ，
所以没有 认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关联． ……………………5分
学科网（北京）股份有限公司（2）X的所有可能取值分别为1，2，3，4．
； ………………………7分
； ………………………9分
； ………………………11分
， ………………………13分
所以 ．
所以X的数学期望为 ． ………………………15分
17．（本小题满分15分）
解：（1）据 ，可得 ，
即 ， ………………………2分
结合正弦定理可得 ．
在△ABC中， ，
所以 ，
整理得 ． ………………………4分
因为 ， ，故 ，即 ，
又 ，所以 ． ………………………6分
（2）法一：因为D是边BC的中点， ，所以BD＝CD＝1．
在△ABD中，AB⊥AD，则AD＝BDsinB＝sinB． ………………………8分
在△ACD中，∠CAD＝ － ＝ ，C＝π－ －B＝ －B，CD＝1，
据正弦定理可得， ，即 ，
所以 ． ………………………11分
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
所以 ， ………………………13分
又 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ． ………………………15分
法二：因为D是边BC的中点，故S ＝S ，
△ABD △ACD
所以 ，即 ，
整理得 ①． ………………………10分
在△ABC中，据余弦定理得， ，
即 ②．
联立①②，可得 ， ． ………………………13分
在Rt△ABD中，据勾股定理得， ，
所以 ． ………………………15分
法三：延长BA到点H，使得CH⊥AB．
在Rt△CHB中，AD⊥AB，CH⊥AB，故AD∥CH，
又D是BC的中点，所以A是BH的中点，
所以AH＝AB＝c，CH＝2AD，且 ．
………………………10分
在Rt△CHA中， ，AC＝b，AH＝c，
学科网（北京）股份有限公司所以CH＝bsin ＝ b，且c＝bcos ＝ b．
………………………12分
所以 ，即 ，解得 (负舍)，
所以 ． ………………………15分
法四：延长AD到E，使AD＝DE，连结EB，EC．
因为D是BC的中点，且AD＝DE，
故四边形ABEC是平行四边形，BE＝AC＝b．
又 ，所以 ．
在Rt△BAE中，AB⊥AD， ，AB＝c，BE＝AC＝b，
所以 ，且 ．
………………………10分
在Rt△BAD中，AB⊥AD，AB＝c，AD＝ AE＝ b，BD＝ a＝1，
据勾股定理 ，可得 ，
………………………13分
将 代入上式，可得 (负舍)，
所以 ． ………………………15分
18．（本小题满分17分）
解：（1）设椭圆C的焦距为2c(c＞0)，
因为椭圆C的离心率为 ，所以 ，即 ，
据 ，得 ，即 ． ………………………2分
所以直线AB的方程为 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司因为原点O到直线AB的距离为 ，
故 ，解得 ，
所以 ， ………………………4分
所以椭圆C的标准方程为 ． ………………………5分
（2）设直线l的方程为 ，其中 ，且 ，即 ．
设直线l与椭圆C交于点 ， ．
联立方程组 整理得 ，
所以 ， ． ………………………8分
① 所以
为定值，得证．
………………………11分
② 法一：直线BM的方程为 ，令 ，得 ，故 ．
设直线BN与x轴交于点Q．
直线BN的方程为 ，令 ，得 ，故 ．
联立方程组 整理得 ，
学科网（北京）股份有限公司解得 或0(舍)， ．
所以△BNT的面积
，
由①可知， ，故 ，代入上式，
所以 ，
因为点N在x轴下方且不在y轴上，故 或 ，得 ，
所以 ，
………………………14分
显然，当 时， ，
当 时， ，
故只需考虑 ，令 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ， ，即 时，不等式取等号，
所以△BNT的面积S的最大值为 ． ………………………17分
法二：直线BM的方程为 ，令 ，得 ，故 ．
设直线BN与x轴交于点Q．
学科网（北京）股份有限公司直线BN的方程为 ，令 ，得 ，故 ．
由①可知， ，故 ，
所以点A(2，0)是线段TQ的中点．
故△BNT的面积 ，其中d为点N到直线
AB的距离． ………………………14分
思路1 显然，当过点N且与直线AB平行的直线 与椭圆C相切时，d取
最大值．
设直线 的方程为 ，即 ，
联立方程组 整理得 ，
据 ，解得 (正舍)．
所以平行直线 ： 与直线l： 之间的
距离为 ，即d的最大值为 ．
所以△BNT的面积S的最大值为 ．
………………………17分
思路2 因为直线l的方程为 ，
所以 ，
依题意， ， ， ，故 ，
所以 ．
因为 在椭圆C上，故 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 时取
等号，故 ，
所以 ，
即△BNT的面积S的最大值为 ．
………………………17分
思路3 因为直线l的方程为 ，
所以 ，
因为 在椭圆C上，故 ，
设 ， ，不妨设 ，
所以 ，
当 ， ， 时， ．
即△BNT的面积S的最大值为 ．
………………………17分
19．（本小题满分17分）
解：（1） ， ， ，
， ，
，等号不同时取，
所以当 时， ， 在 上单调递增， ．
（ⅰ）若 ，即 ， ， 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，符合题意．
学科网（北京）股份有限公司………………………3分
（ⅱ）若 ，即 ，此时 ，
，
又函数 在 的图象不间断，
据零点存在性定理可知，存在 ，使得 ，
且当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，与题意矛盾，舍去．
综上所述，实数a的取值范围是 ． ………………………6分
（2）① 由（1）可知，当 时， ．
要证：函数 在 上具有性质S．
即证：当 时， ．
即证：当 时， ．
令 ， ，则 ，
即 ， ， ，
所以 在 上单调递增， ．
即当 时， ，得证． ………………………11分
② 法一：由①得，当 时， ，
所以当 时， ．
下面先证明两个不等式：（ⅰ） ，其中 ；（ⅱ） ，其
中 ．
（ⅰ）令 ， ，则 ， 在 上单
学科网（北京）股份有限公司调递增，所以 ，即当 时， ．
（ⅱ）令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
即当 时， ，故 ，得 ．
………………………13分
据不等式（ⅱ）可知，当 时， ，
所以当 时， ．
结合不等式（ⅰ）可得，当 时，
．
所以当 时， ． ………………………15分
当 ， 时， ，有 ．
所以 ．
又 ，
所以 ． ………………………17分
法二：要证： ．
显然，当 时， ，结论成立．
学科网（北京）股份有限公司只要证：当 ， 时， ．
即证：当 ， 时， ．
………………………13分
令 ， ．
所以 ， ，
所以 ， 在 上单调递减，
所以 ， 在 上单调递增，
所以 ， 在 上单调递增，
所以 ，即当 时， ．
………………………15分
所以当 ， 时， ，有 ，
所以当 ， 时， ．
所以 ．
………………………17分
学科网（北京）股份有限公司
