文档内容
山西省大同市 2024 届高三上学期第二次摸底（10 月）
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字
笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】由题意集合 ，
则 ，
故选：D
2. 已知 为虚数单位，若复数 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 ，进而结合复数虚部的定义求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，
即 ，
所以复数 的虚部为 .
故选：B.
3. 命题 所有的偶数都不是素数，则 是（ ）
A. 所有的偶数都是素数 B. 所有的奇数都是素数
C. 有一个偶数不是素数 D. 有一个偶数是素数
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定求解即可.
【详解】因为命题 所有的偶数都不是素数，
所以 是：有一个偶数是素数
故选：D.
4. 下列函数中最小值为6的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A.由 时判断；B. 令 ，利用对勾函数的性质求解判断；C. 令 ，
利用基本不等式求解判断；D. 由 时判断.
【详解】A.当 时，显然不成立，故错误；
B. 令 ，又 在 上递减，所以当t=1时，函数取得最小值10，故错误；
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学科网（北京）股份有限公司C. 令 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故正确；
D. 当 时， ，显然不成立，故错误；
故选：C
5. 已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件
能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工
作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（ ）
A. 0.19738 B. 0.00018 C. 0.01092 D. 0.09828
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据独立事件概率公式求能听到声音的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解.
【详解】设能听到声音为事件 ，
则
,
所以听不到声音的概率 .
故选：A
6. 已知数列 满足 ，则 （ ）
A. 2023 B. 2024 C. 2027 D. 4046
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 可得 ，进而可得 ，则有数列 的偶数项
是以 为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.
【详解】由 ①，得 ，
②，
由② ①得 ，
所以数列 的偶数项是以 为公差的等差数列，
则 ，
所以 .
故选：C.
7. 设函数 ，则使得 成立的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数 的单调性，利用函数的单调性求解函数不等式.
【详解】 ，
因为 ，
故 的定义域为 ，
又因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以函数 为偶函数，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，即 ，解得 .
故选：B
8. 已知点 是抛物线 的焦点， ，过 斜率为1的直线交抛物线于M，N两点，
且 ，若Q是抛物线上任意一点，且 ，则 的最小值是（
）
A. 0 B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与抛物线联立可得韦达定理，根据数量积的坐标运算可得 ，进而根据向量线性运
算的坐标表示，即可结合二次函数的性质求解.
【详解】由题意可得 ，所以直线 的方程为 ，
联立直线与抛物线方程得 ，
设 ,所以
，
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学科网（北京）股份有限公司，
化简得 ，
即 ,解得 ,
故
设 ,则
，
因此 且 ，
因此可得 ，
故 ，当 时取到等号，故
的最小值为0，
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知向量 ，则（ ）
A. B.
C. D. 向量 在向量 方向上的投影向量互为相反向
量
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量垂直、平行、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】A选项， ，所以 ，所以A选项正确.
BC选项， ， ，所以 ，
所以B选项正确，C选项错误.
D选项， 在 上的投影向量为 ，
在 上的投影向量为 ，所以D选项错误.
故选：AB
10. 下列选项中，满足 的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用指数、对数函数、幂函数 的单调性逐项比较大小即可.
【详解】对于A，函数 在 上单调递增，则 ，即 ，A不满足；
对于B，函数 在 上单调递减，则 ，
即有 ，因此 ，即 ，B满足；
对于C，函数 在R上单调递减，则 ，即 ，C满足；
对于D，函数 在 上单调递增，则 ，即 ，D满足.
故选：BCD
11. 函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（
）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B. 是函数 的一个递减区间
C. 是函数 图象的一条对称轴
D. 函数 在区间 上的最大值是
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数图像依次分析出 ，然后再判断对称轴，单调区间，最值等问题
【详解】由图可知 最大值为1，最小值为 ，所以 ；
由图可知 ，所以 ，又 ，所以 ；
函数图像经过点 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .
对于A：由上面结论知道A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于B： 时 ， 在该区间不是单调递减函数，B错误；
对于C： 时 ，是函数 的一条对称轴，C正确；
对于D： 时 ，此时单调递增，最大值取不到 ，故D错误.
故选：AC
12. 定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A.
B. 若 ，则 为 的极值点
C. 若 ，则 为 的极值点
D. 若 ，则 在 上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】令 且 ，结合已知可得 ，即可判断 A；将已知条件化为
且 ， 再 令 并 应 用 导 数 研 究 单 调 性 得
，进而判断B、C、D.
【详解】令 且 ，则 ，
所以 在 上递增，则 ，A对；
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学科网（北京）股份有限公司由题设 且 ，
令 ，则 ，
当 时 ，即 递减；当 时 ，即 递增；
所以 ，
若 ，则 ，
所以 上 ， 递减； 上 ， 递增；
故 为 的极值点，B对；
若 ，则 ，即 ，故 在 上递增，故 不是 的极值点，C错；
若 ，则 ，即 ，故 在 上单调递增，D对.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：对于B、C、D，由 且 ，并构造 且
应用导数研究其单调性和极值为关键.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简得到 ，结合二项展开式
的通项公式，即可求解.
【详解】由 ，
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学科网（北京）股份有限公司其中二项式 展开式的通项公式为 ，
当 时，可得 ，所以 .
故答案为： .
14. 曲线 的一条切线的斜率为1，则该切线与坐标轴围成的三角形的面积为__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用导数求出切点坐标及切线方程，再求出面积即得.
【详解】设斜率为1的直线与曲线 相切的切点为 ，
由 ，求导得 ，因此切线斜率为 ，解得 ，切点为 ，切线方程为 ，
该切线与x、y轴分别交于 ，
所以该切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .
故答案为：
15. 已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ，离心率分别为 ，且 ，若P是两条曲线
的一个交点，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】结合 为椭圆和双曲线的公共点，分别根据定义在椭圆和双曲线里列 和 的关系，表示
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学科网（北京）股份有限公司出 和 ，然后结合 ，在 用余弦定理表示 即可.
【详解】
不妨设椭圆方程为 ，设双曲线的方程为 ， ，
设P是两条曲线第一象限的一个交点，则有 ， ，所以 ，
，
在 中，
又因为 ，则 ，即 ，即 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
16. 已知函数 满足 ，则 __________，若 ，则m的取值范围
是__________.
【答案】 ①. 1 ②. .
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用 列方程求参数a，进而写出 解析式和定义域，定义判断奇偶性，并得到
，即有 上 值域均相同，再将问题化为研究
上 ，结合基本不等式求参数范围.
【详解】由 ，则 ，故 ， 且 ，
而 ，即 为奇函数，
所以 ，易知 和 上 值域相同，
综上， 上 值域均相同，
只需研究 上 的最小值，即 ，
此时 ，当且
仅当 时取等号，
所以， .
故答案为：1，
【点睛】关键点点睛：求参数范围时注意判断 的奇偶性并确定 在
四个区间上的值域相同，简化为 上 为关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知向量 ，函数
.
（1）求使 成立的x的集合；
（2）若先将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到
函数 的图象，求 在区间 内的所有零点之和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利于向量的数量积、三角恒等变换化简函数式，结合三角函数的性质解不等式即可；
（2）利用三角函数的图象变换及性质数形结合计算即可.
【小问1详解】
由已知可得
，
所以
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司结合（1）可知将函数 的图象向左平移 个单位得 ，
再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数 ，
所以 ，
如下图所示，函数 与 在 上有4个交点，
记该四个交点的横坐标依次为 ，
则由正弦函数的对称性可知 .
18. 在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，从条件①、条件②中选一个作为已知
条件①： ；条件②： .
（1）求角 ；
（2）当 时，求 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）选条件①，由正弦定理边化角得到 ，于是
，而 ，于是 ，进而求出角 ；
选条件② ，由正弦定理可得 ，化简后利用余弦定理得到 ，进而求出角
.
（2）通过正弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形
式，最后结合角的范围利用三角函数的值域求解．
【小问1详解】
选条件① ，因为 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，故 .
选条件② ，因为 ，
由正弦定理可得 ，
整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由余弦定理可得 ，
又因为 ，故 .
【小问2详解】
由正弦定理 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
故 ，
所以 的取值范围为 .
19. 如图，在三棱柱 中，侧面 是边长为2的菱形， 平面
， 为线段 的中点， 与平面 所成的角为 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）设 与 的交点为 ,连接 ,则 ，利用线面平行的判断定理证明即可；
（2）连接 ,交 于 ,以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面
的法向量，然后进行计算即可.
【小问1详解】
设 与 的交点为 ,连接 ,
因为 为线段 的中点,则 为 的中位线，
则 ,
又 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
因为四边形 为边长为2的菱形，
故可求得 ,
又 平面 ,则 平面 ,
则 为 与平面 所成的角，故
又 ，则 ,
连接 ,交 于 ,
以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ,
,
设平面 的法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
令 ，得 ，故 .
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 ，故 ,
设平面 与平面 夹角为 ，则
，
故平面 与平面 夹角余弦值为
20. 已知等差数列 满足 ，数列 的前n项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的定义以及基本量计算和 与 的关系即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先求出 的通项，再用错位相减法求得 的值，再由 化简及分类讨论、分析函数的最
值求得 的取值范围.
【小问1详解】
因为 是等差数列， ，由等差数列中项性质可得 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
所以 可得
所以 ；
由 ①，可得:
当 时， ，得: ，
当 时， ②，
① -② 得: ，
故数列为以首项为 , 公比为 的等比数列，
【小问2详解】
由（1）可知， ， ，
所以 ，
③
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学科网（北京）股份有限公司④，
由③-④可得
.
化简可得:
要使得 对任意 恒成立，
即 ，
即 ，
① 当 时, 有 成立
②当 时，有 ，
对于函数 ，由反比例函数性质可知 是在 单调递增的；
所以要使其恒成立，只要 ， ，
③当 ，有 ，
对于函数 ，由反比例函数性质可知 在[1,4]上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司只要 ；
综上: 的取值范围为 .
21. 已知函数 的定义域为D，如果存在 ，使得 ，则称 为 的一阶不动点；如果
存在 ，使得 ，且 ，则称 为 的二阶周期点.
（1）函数 是否存在一阶不动点与二阶周期点？
（2）若函数 存在一阶不动点，不存在二阶周期点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）存在一阶不动点，不存在二阶周期点
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一阶不动点和二阶周期点的定义判断；
（2）将 存在一阶不动点转化为方程 有解，然后列不等式求 ；假设
存在二阶周期点得到 ，即可得到 时， 不存在二阶周期点.
【小问1详解】
的定义域为 ，
令 ，整理得 ，解得 ，
所以 为 的一阶不动点，所以 存在一阶不动点；
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学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 ，而 ，
所以 不存在二阶周期点.
【小问2详解】
若 存在一阶不动点，则方程 有解，
当 时， 存在一阶不动点 ，成立；
当 时， ，解得 ，
所以当 时， 存在一阶不动点，
若 存在二阶周期点，则 ， ，
整理得 ， ，
即方程 有解，
当 时， ，不成立；
当 时， ，解得 ，
所以当 时， 存在二阶周期点，
所以当 时， 不存在二阶周期点，
综上可得，当 时， 存在一阶不动点，不存在二阶周期点.
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学科网（北京）股份有限公司22. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在极值点，其极大值点为 ，最大的零点为 ，判断 与 的大小关系，并证明.
【答案】（1）答案见解析；
（2） ，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）当 时，直接求导可得单调性；当 ，由方程 在 范围内上解
的情况，可得单调性.
（2）由（1）知 ， 的极值点为方程 的两根，设为 ，且 .
后通过讨论 的正负情况，可知存在 ， ， 三种情况，前两种情况容
易得到 ，当 时，利用 单调性比较 与 大小即可.
【小问1详解】
由题， 定义域为 .
当 ， 在 上单调递减；
当 时， .
当 或 时， 在 上单调递减；
当 或 ，此时方程 有两根设为 .
由韦达定理， ，则 同号.
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学科网（北京）股份有限公司当 ，则 在 上单调递减；
当 ， .
在 上单调递增；
或
在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减；
【小问2详解】
由（1）可知此时 ，
在 上单调递减，在 上单调递增.
， .
则 .
令 ，则 .
， .
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学科网（北京）股份有限公司设 .
则 ，因 均在 上递增，
则 在 上递增，则 .
注意到 ，则 .
即 在 上单调递增，则 .
则 ，使 .即 ，使
又注意到 .
则当 时， ，
则 有唯一零点 ，满足 ；
当 时， ，
有两个零点 ，满足
当 时， ，此时无论 取值如何， 的最大零点 均满足 .
因 在 上单调递减， .则 与 的大小关系与 与 大小关系相反.
令 ，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 上递减，则 .
综上 .
第28页/共28页
学科网（北京）股份有限公司
