文档内容
2024 北京人大附中高三 10 月月
考 数 学
说明：本试卷 21 道题，共 150 分；考试时间 120 分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将
条 形码贴在答题卡的相应位置上.
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置. )
1. 已知集合 ( )
A.
(−2, 4)
B.
[0, 4)
C.
[0,1]
D.
{0,1}
2. 下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[0, +∞ )上递减的是( )
B. f (x) = cosx D. f (x) = ex − e − x
3. 已知a > b> 0 ，以下四个数中最大的是( )
A. b B.
4. 已知角α 的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点 ,cos ，则角α 的一
个可
能值为( )
A. − B. D.
5. 已知函数f (x) = 9 lg x − x + 1，则 f (x) > 0 的解集为( )
A. (0,10) B. (1,10) C. (0,1) (10, +∞) D. (−∞,1) (10, +∞ )
6. 已知定义域为 R 的函数f (x) 满足f (x − 2) 是奇函数，f (x) 是偶函数，则下列各数一定是f (x)
零点 的是( )
A. 2019 B. 2022 C. 2025 D. 2028
7. 深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型： ，其中，L 表示每一轮优化时
L = L D
0
使用的学习率，L 表示初始学习率，D 表示衰减系数， G 表示训练迭代轮数， G 表示衰减速度．已
0 0
知， 某个指数衰减学习率模型的初始学习率为 0.5 ，衰减速度为18 ．经过18 轮迭代学习时，学习率衰
减为
0.4 ，则学习率衰减到 0.2 以下所需要的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： lg 2 = 0.3010 ）
A. 71 B. 72 C. 73 D. 74
第1页/共20页1 1
8. 已知a, b 均为正实数．则“ > ”是“ a2 + 5b2 > 6ab ”的( )
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
9. 音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“ 葫芦曲线” .它的性质是每经过相同的时间间隔，它的
振
幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为 sin①x , x ≥ 0 ，其中 表示不
超过 x 的最大整数.若该条曲线还满足 ① ∈ (1, 3) ，经过点 则该条葫芦曲线与直线
τ 交点的纵
坐标为( )
B. ± C. ± D. ±1
10. 如图所示，直线 y = kx + m 与曲线 相切于 (x , f (x )) , (x , f (x )) 两点，其中 x < x ．
1 1 2 2 1 2
若当 x∈ (0, x ) 时，f , (x) > k ，则函数 f (x)− kx 在 上的极大值点个数为( )
1 y = f(x)
(0, +∞)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请把结果填在答题纸上的相应位置.
)
11. 函数f 的定义域为
12. 函数f 的值域为_____ .
13. 已知对任意实数 x ，均有cos = sin , ① ∈ R ，写出一组满足条件的(①,φ) =
______ .
14. 已知函数f (x) = ln (x + 1) − k 有两个零点a , b(a < b) ，则a + 2(b + 1) 的取值范围为 .
15. 已知函数f (x) = x +1 + ax − 2 (a > 0) 定义域为 R，最小值记为M(a) ，给出以下四个结论：
第2页/共20页①M(a) 的最小值为 1；
②M(a) 的最大值为 3；
③ f (x) 在(−∞, −1) 上单调递减；
④a 只有唯一值使得 的图象有一条垂直于 x 轴的对称轴.
其中所有正确结论的是： .
y = f(x)
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请
在
答题纸上的相应位置作答. )
16. 已知数列{a } 的前 n 项和为S = n2 + 3n, n ∈ N* .
n n
（1）求{a } 的通项公式：
n
（2）若等比数列 {b }满足b = a , b = a ，求 {b } 的前 n 项和T .
n 1 2 2 3 n n
17. 已知函数f (x) = sin ①xcosφ− cos①xsinφ(① > 0,| φ |< ) .
若f ，求φ 的值；
（2）已知f (x) 在[ , ] 上单调递减， = −1 ，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数
f (x) 唯一确定，求①,φ 的值.
是曲线y = f (x) 的一个 对称中
心；
③ f (x) 在[0, ] 上单调递增；
18. 已知函数 x3 + x2 − 4x + a
（1）若a = 0 ，求曲线 y = f (x) 的斜率为 −4 的切线方程；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）若函数在[ −1,2] 上恰有 1 个零点，直接写出a 的取值集合.
19. 海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某
天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨 3 点 06 分）
时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24
水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0
第3页/共20页（1）根据以上数据，可以用函数 y = Asin 来近似描述这一天内港口水深与
时间的关系，求出这个函数的解析式；
（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为 4.2 米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停
靠 时，船底高于海底平面的安全间隙至少有 2 米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港
时 间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长.
20. 已知函数f (x) = ex ( x2 + x ) ，记其在点 (a, f (a)) 处的切线方程为：y = g
a
(x) . 定义关于 x 的函数F (x) = f (x)− g (x) .
a a
（1）求g (x) 的解析式；
1
（2）当a > 0 时，判断函数F (x) 的单调性并说明理由；
a
（3）若 a 满足当x ≠ a时，总有 > 0成立，则称实数 a 为函数f (x) 的一个“Q 点”，求
f (x) 的所有 Q 点.
21. 已知集合Ω = {X X = (x , x ,..., x ), x ∈{0,1}, i = 1, 2,..., n} ，对于任意 X ∈Ω ，
n 1 2 n i n
操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1或连
续k 个0 ，得到Y ∈Ω (k ≥ 1) ；
n+k
操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0 ，得到Y ∈Ω (1 ≤ k ≤ n−1) ；
n−k
进行一次操作一或者操作二均称为一次“ 10 月变换 ”，在第n 次 ( n∈ N* ) “ 10 月变换 ”的结果上再
进行1 次“ 10 月变换 ”称为第n +1次“ 10 月变换 ”.
（1）若对X = (0,1, 0) 进行两次“ 10 月变换 ”，依次得到Y ∈Ω ，Z ∈Ω ．直接写出Y 和Z 的所
4 2
有可 能情况.
（2）对于X = (0, 0,..., 0) ∈Ω 和Y = (0,1, 0,1,..., 0,1) ∈Ω 至少要对X 进行多少次“ 10 月变换
100 100
”才能 得到Y ？说明理由 .
（3）证明：对任意X, Y ∈Ω ，总能对 X进行不超过n +1次“ 10 月变换 ”得到Y .
2n
第4页/共20页参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置. )
1. 【答案】D
【分析】先求出集合 A ，将其中非负整数代入 y = x ，即可判断是否属于集合 B ，进而结合交集的定
义 求解即可.
【详解】根据题意， A = {x −2 < x < 4 } ，则集合 A 中的整数为−1, 0,1, 2,3 ，
当x = 0 时，y = 0 = 0 ∈ B，当 x = 1 时，y = 1 = 1 ∈ B ，
当x = 2 时，y = 2 ∈ B，当 x = 3 时，y = 3 ∈
B ， 所以 A B = {0,1} .
故选：D
2. 【答案】C
【分析】根据函数奇偶性的定义、单调性的判断方法进行判断即可.
解：A ． 为奇函数，但x = 0 无意义，不符合题
意；
f
B ．f (x) = cosx 为偶函数，不符合题意；
C ． 函数为奇函数，在[0, +∞)上递减，符合题意；
D ．f (−x) = e− x − ex = − (ex − e− x ) = −f (x)，函数为奇函数，在[0, +∞)上递增，不符合
题意； 故选：C .
3. 【答案】D
【分析】首先得 > > b ，而 、 都是正数，故只需让它们的平方作差与 0 比较大
小即可.
【详解】由题意 a > b > 0 ，所以b =
由基本不等式可得 ≥ ,同时注意到 a ≠ b ，所以 > >
b ，
a2 +
而
b2
、 都是正数，所以
·i
2
故选：D.
第5页/共20页4. 【答案】B
【分析】由题意可求得 tanα = 结合选项可得结
论. 【详解】因为α 的终边经过点 ,cos
所以 tanα =
所以角α 的一个可能值为 .
故选：B.
5. 【答案】B
【分析】求导后可得f (x) 单调性，结合f (x) 零点可求得结
果. 【详解】由题意知：f (x) 定义域为 ，
(0, +∞)
( 9 ) ( 9 )
:当x∈ |0, 时， ；当 x∈ | , +∞ 时， ；
( ln10 , (ln10
′ ′
f (x) > 0 f (x) < 0
在 上单调递增 上单调递减，
又f (1) = f (10) = 0 ， :当x∈ (1,10) 时，f (x)
> 0 ， 即f (x) > 0 的解集为(1,10) .
故选：B.
6. 【答案】B
【分析】由已知条件确定函数周期，再逐项判断即可.
【详解】因为f (x − 2)是奇函数，所以f (x − 2) = −f (−x− 2) 且f (−2)
= 0 ， 令x − 2 = t ，可得：f (t ) = −f (−t − 4)
因为f (x) 是偶函数，f (2) = 0 且f (−t − 4) = f (t +
4) ， 所以f (t + 4) = −f (t ) ，
所以f (t + 8) = −f (t + 4) = f (t) ，
所以定义域为 R 的函数f (x) 一个周期为 8，
第6页/共20页所以f (2019) = f (252×8 + 3) = f (3) 无法判
断， f (2022) = f (252×8 + 6) = f (6) = f
(−2) = 0 ， f (2025) = f (253×8 +1) = f (1)
，无法判断.
f (2028) = f (253×8 + 4) = f (4) ，无法判
断. 故选：B
7. 【答案】D
【分析】根据已知条件列方程，可得D = ，再由0.5 × < 0.2 ，结合指对数关系和对数函数的性质
求
解即可.
由于 所以
L = L D L =
0
， 依题意 ，则
0.4 =
则
L = 0.5 ×
由L = 0.5 × ( 0.2 ，得到
所以G >18log ≈ 73.9 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为 74
次， 故选：D.
8. 【答案】A
【分析】根据给定条件，结合不等式的性质，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由a, b 均为正实数，得 a < b ，则a2 + 5b2 − 6ab = 即
a2 + 5b2 > 6ab ；
1 1
当a2 + 5b2 > 6ab时，即(a − b)(a − 5b) > 0 ，而a, b 均为正实数，则有 a < b 或a > 5b ，即 >
或
a b
1 1
所以“ > ”是“ a2 + 5b2 > 6ab ”的充分不必要条件.
a b
故选：A
9. 【答案】C
第7页/共20页【分析】根据曲线方程上的点 可得w= 2 ，将 π 代入计算可得纵坐
标. 将点M 代入葫芦曲线的方程可得
即 = 1 ，由w ∈ 可得w= 2 ，
因此曲线方程为 sin2x
当 可得 sin2 × ,
所以交点的纵坐标为 ± · .
2
故选：C
10. 【答案】D
【分析】根据f (x) 斜率为k 的切线条数，结合图象直接判断即可.
【详解】
根据图象，可分别作出f (x) 斜率为k 的另外三条切线：y = kx + m (i = 1, 2,3) ，切点分别为 x , x ,
i 5 3
x ， 如图所示：当x∈ (0, x ) U (x , x ) U (x , x ) 时，f , (x) > k ；当 x∈ (x , x ) U (x , x ) U
4 1 3 2 4 5 1 3 2 4
(x , +∞) 时， f , (x) < k ；
5
设g (x) = f (x)− kx ，则 g, (x) = f , (x)− k ，
: g (x) 在(0, x ), (x , x ), (x , x ) 上单调递增，在(x , x ), (x , x ), (x , +∞)上单调递减，
1 3 2 4 5 1 3 2 4 5
:g (x) = f (x)− kx 有x = x ，x = x 和x = x 三个极大值
1 2 5
点. 故选：D.
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．请把结果填在答题纸上的相应位置.
)
11.
【答案】(−∞,0]
【分析】根据对数的真数为正和二次根号下非负可求定义域.
〔1 − x
> 0 {
【详解】由题设 lln(1− x) ≥ 0 ,故 x ≤ 0 ，故函数的定义域为(−∞,0]
第8页/共20页故答案为：(−∞,0]
.
12.
【答案】[0, 2]
【分析】分别求出每一段函数的值域，再求并集即可.
当 −1 ≤ x < 0 时，f 上单调递减，所以f (x)∈ (1, 2] ；
当 0 ≤ x ≤ 1时， f (x) = = x ，在 0 ≤ x ≤ 1上单调递增，所以f
综上所述，f (x)∈ [0,
2]， 故答案为：[0, 2]
.
( 2π )
13. 【答案】 −1, （答案不唯
|( 3
,
一） 【分析】根据诱导公式变形即可
求解.
( π ) 「 π ( π )7 (
【详解】注意到cos x − = sin − x − = sin −x+ = sin ( x+φ), ∈R ，
|
|( 6 L|2 (| 6 (| 3
, ,」 ,
)
故可以直接让( ,φ) = −1, ，
,
事实上，根据函数周期性可知 , k ∈
Z . 故答案为 答案不唯一）.
14. 【答案】(2, +∞)
【分析】令f (x) = 0 ，得到 ln (x +1) = k ，构造函数 y = ln(x +1) ，y = k ，根据条件，数形结合
1 2 得到
b+ 1 = 从而有a + 2(b+1) = a +1+ −1，通过换元a +1 = t ∈(0,1) ，
得到 a + 2(b+1) = t + −1(0 < t <1) ，再求出 y = t + −1在(0,1)的取值范围，
即可求解.
【详解】易知函数的定义域为(−1, +∞) ，令 f (x) = 0 ，得到 ln (x +1) =
k ， 令y = ln(x +1) ，y = k ，图象如图所示，
1 2
因为函数f (x) = ln (x +1) − k 有两个零点a, b(a < b) ，由图易知 k > 0 ， −1 < a < 0, b > 0 ，
且 = k ，得到b+ 1 = ，
2
所以 a + 2(b+1) = a + = a +1+ −1，令a +1 = t ∈(0,1) ，
a +1 a +1
第9页/共20页则 又易知y = t + 在区间(0,1)上单调递减，
所以y∈ (2, +∞) ，即a + 2(b+1) 的取值范围为(2, +∞) ，
故答案为：(2, +∞) .
15. 【答案】 ②③④
( )
【分析】分类讨论后可得 故可求M a ，故可判断①②的正误，结
合
−(1+ a)x +1, x ≤
−1
l
f (x) 的形式可判断 C 的正误，对于④,结合解析式的形式可得若对称则a = 1 ，可证明此时图像对称.
【详解】由题设可得
−(1+ a)x +1, x ≤
−1
l
当 0 < a < 1时， M (a) = 2 − a ，此时1 < M(a) < 2
当a ≥ 1 时，M ，此时1< M
1
故 的值域为
(1, 3]，
故①错误，②正确；
当x < −1时， f (x) = −(a +1)x +1，因 a +1>
0 ， 故f (x) 在(−∞, −1) 上单调递减，故③正
确；
因为1+ a,1− a, −1− a 互不相等，若 的图象有一条垂直于 x 轴的对称
轴， 则1 − a = 0 即a = 1 ，
y = f(x)
此时f (x) = x +1 + x − 2 ， f (1− x) = 1− x +1 + 1− x− 2 = x+1 + x− 2 = f (x) ，
第10页/共20页故 为f 的图象的对称轴，故④正确；
故答案为：②③④.
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请
在
答题纸上的相应位置作答. )
16. 【答案】（1）a = 2n+ 2 ，n ∈ N*
n
4
（2）T = 18( )n −18
n
【分析】（1）借助关系式 即可求解；
（2）根据（1）的结论可求出等比数列 中的b , b ，进而求出公比，代入等比数列前 n 项和公式即可
1 2
求 出T . {bn }
n
【小问 1 详解】
因为数列 的前 n 项和为S = n2 + 3n, n ∈
n
N* ， 当n
{a
=n
}
1 时， a
1
= S
1
= 12 + 3×1 = 4 ；
当n ≥ 2 时， a = S − S = n2 + 3n − (n−1)2 + 3(n−1) = 2n+ 2 ；
n n n−1
又因为 a = 4 = 2×1+ 2 ，符合 a = 2n+ 2 ，
1 n
所以 的通项公式为：a = 2n+ 2 ，n ∈ N* .
n
【小问 2 详解】
{an }
设等比数列 的公比为q .
因为等比数列{bn } 满足b = a , b = a ，即b = 6 ，b = 8 ，
1 2 2 3 1 2
{bn }
n
所以 所以 ，
−18
4
所以 的前 n 项和T = 18( )n −18 .
n
3
{bn }
17. 【答案】（1） ；
（2）选择条件，答案见解析.
【分析】（1）逆用差角的正弦公式化简函数 f (x) ，借助特殊角的三角函数值求出φ .
（2）根据给定条件，结合单调区间及最小值可得 0< ≤ 2 ，且 −φ = ，选择①结合对称中
心求
出 ,φ ;选择②结合特殊角的三角函数值求出φ 值，矛盾；选择③,由最大值点求出 ,φ .
第11页/共20页【小问 1 详解】
依题意，函数f (x) = sin(wx −φ) ，由 f (0) =− ,得 −sinφ = − ,
即sinφ = ，而|φ |< ，解得φ =
， 所以φ 的值是 .
【小问 2 详解】
由 在 上单调递减，得函数f (x) 的最小正周期 = π , 解得0 < w
≤ 2 ， 由f ( ) =−1 ，得 = −1 ，又 −φ < w−φ ≤ −φ,而|φ |< ，
即 − < φ < ， < −φ < ，因此 w−φ = ，
选择① , ( ,0) 是曲线y = f (x) 的一个对称中心，而
2π 2π 5π
则函数f (x) 的最小正周期T = = 4( − ) = π ,解得w=
2 ， w 3 12
由 w−φ = 得φ = − ,函数 = sin 唯一确定，经验证符合题
意， 所以w= 2,φ = −
选择 即sin(− w−φ) = ，化简得sin( w+φ) = − ,
又φ < π w + φ ≤ 2 π + φ , π − < φπ < π ， 2 π < 7 + π φ < π ， 于是 w +φ = − ,
3 3 2 2 6 3 6 3 6
联立 w−φ = 解得w= ,φ = − ,不符合题意，函数 f (x) 不能确定.
)
选 择 ③ , f (x) 在 [0, ] 上 单 调 递 增 ， f = 1 ， 则 函 数 f (x) 的 最 小 正 周 期
,
解得w= 2 ，由 w−φ = ，得φ = − , 函数f = sin
唯一确定，经验证符合题意， 所以w= 2,φ = −
18. 【答案】（1）y = −4x 和12x + 3y −1 = 0 ；
（2） (−∞, −2), (1, +∞) ；
第12页/共20页13 4 7
（3）[− , − ) {
} . 3 3
3
【分析】（1）设斜率为 −4 的直线与 相切于 求导得f , (x) = 2x2 + 2x −
4 ，
y = f(x)
令 2x 2 + 2x − 4 = −4 ，解得 x = 0 或x = − 1，求出切点坐标，再利用点斜式即可得切线方程；
0 0 0 0
（2）求导得 f , (x) = 2(x + 2)(x −1) ，令 ，即可得函数的单调递增区间；
′
f (x) > 0
（3）将问题转化为直线y =−a 与 g(x) = x3 + x2 − 4x 的图象在[−1,2] 上只有一个交点，利用导数求
出
g(x) 的单调区间、最值，作出图象，结合图象求解即可.
【小问 1 详解】
解：因为 a = 0 ，
所以f (x) = x3 + x2 − 4x ，f , (x) = 2x2 + 2x − 4 ，
设斜率为 −4 的直线与 相切于
令 2x 2 + 2x − 4 = −4 y， =解 f得(x )x = 0 或x = − 1，
0 0 0 0
当x = 0 时，切点为(0, 0)
0
， 此时切线方程为y = −4x
；
当x = − 1 时，切点为 (−1, ) ,
0
此时切线方程为
即12x + 3y −1 = 0 ；
综上，所求切线方程为：y = −4x 和12x + 3y −1 = 0
； 【小问 2 详解】
解：因为f (x) = x3 + x2 − 4x + a ，
所以f , (x) = 2x2 + 2x − 4 = 2(x + 2)(x
−1) ， 令 ，得 x < −2 或x > 1 ，
所以函数的单′ 调递增区间为(−∞, −2), (1, +∞)
f (x) > 0
； 【小问 3 详解】
解：令f ( x ) = x3 + x2 − 4x+ a = 0
，
第13页/共20页则 g,(x) = 2x2 + 2x − 4 = 2(x + 2)(x −1) ，
所以当x [ 1,1) 时，g,(x) < 0 ， g(x) 单调递
减； 当x∈ (1, 2] 时，g ,(x) > 0 ， g(x) 单调递
增；
所以 = g 又 ， ，
min
又因为函数在 [−1,2] 上恰有 1 个零点，
即直线y =−a 与y = g(x) 的图象在[−1,2] 上只有一个交
点， 如图所示：
由此可得 −a = − 或 < −a ≤
解得 ≤ a < −
所以实数 a 的取值集合为
y = 2.4sin x+ 5, 0 ≤ x < 24
（2）最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时
长 为 8 小时 16 分.
【分析】（1）由公式 可求，由表格可得周期 T = 12.4 − 0 = 12.4 ，进
而求
,代入最高点(3.1, 7.4) 可求φ;
（2）由题意可知进港条件为 y ≥ 6.2 ，解不等式即
可. 【小问 1 详解】
由表格可知y 的最大值为 7.4，最小值为 2.6，
所以 = 2.4, b =
第14页/共20页由表格可知T = 12.4 − 0 = 12.4 ，
所以 =
所以y = 2.4sin
将点(3.1, 7.4) 代入可得： 7.4 = 2.4sin
所以 ×3.1+φ = + 2kπ, k ∈ Z
，
解得φ = 0 + 2kπ, k ∈ Z ，
因为 φ < ，所以φ = 0 ，
所以y = 2.4sin x+ 5, 0 ≤ x < 24 .
【小问 2 详解】
货船需要的安全水深为 4.2 + 2 = 6.2
米, 所以进港条件为 y ≥ 6.2 .
令 2.4sin x + 5 ≥ 6.2 ,
5π 1
即sin x ≥ ,
31 2
π 5π 5π
所以 + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ, k ∈ Z ,
6 31 6
解得 3 1 + 62k ≤ x ≤ 3 1 + , k
∈ Z , 30 5 6 5
因为0 ≤ x < 24 ，
31 31
所以k = 0 时， ≤ x ≤
,
30 6
403 527
时， ≤ x ≤
30 30
k = 1
因为 （时） 时 2 分, （时）= 5 时
= 1
10 分. （时） = 13 时 26 分，（时） = 17
时 34 分.
因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分
出港. 则该货船最早进港时间为 1 时 2 分，停靠总时长为 8 小时 16 分钟.
20. 【答案】（1）g (x) = 5ex − 3e
1
第15页/共20页（2）当a > 0 时，F (x) 在(−∞, a)上单调递减；在(a, +∞ )上单调递增
a
（3）f (x) 的所有 Q 点为a = −4 或a = − 1
【分析】 (1)先求出 f (x) 的导函数 ，然后求出 f (1), f , (1) 的值，再根据点斜式即可求出切线
方程 g (x)； ′
1 f (x)
(2)求出F (x) 的导函数F , (x)，判断 F , (x) 在a > 0 时的符号，即可判断函数F (x) 的单调性；
a a a a
(3)根据题意，当 x ≠ a 时，总有 > 0 成立，即 F (x) 与 x− a 同号，即可找到满足条件
a
的 a
值.
【小问 1 详解】
:
f (x) = ex ( x2 + x ) ，
f , (x) = ex ( x2 + x ) + ex (2x +1) = ex ( x2 + 3x
+1 ) 当 a = 1 时，f (1) = 2e ，f , (1) = 5e ，
故f (x) 在(1, 2e) 处的切线方程为：y − 2e = 5e (x −1) ，
即y = 5ex − 3e ，
:g (x) = 5ex − 3e
1
； 【小问 2 详解】
由(1) 知：g (x) = f , (a)(x − a) + f (a)
a
= ea (a2 + 3a +1 )(x − a)+ ea (a2 + a)
= ea ( a2x + 3ax + x − a3 − 2a2 )
F (x) = f (x)− g (x) = ex ( x2 + x ) − ea ( a2x + 3ax + x − a3 − 2a2 ) ，
a a
:F , (x) = ex ( x2 + x ) + ex (2x+1)− ea ( a2 + 3a +1 )
a
= ex (x2 + 3x +1 ) − ea (a2 + 3a +1)
= ex x2 + 3x +1− ea−x ( a2 + 3a +1 )
令h (x) = x2 + 3x +1− ea−x ( a2 + 3a +1 ) ，
则 h, (x) = 2x + 3 + ea−x (a2 + 3a +1) = ，
令φ(x) = ex (2x + 3)+ ea ( a2 + 3a
+1 ) ， 则φ, (x) = ex (2x + 5)，
第16页/共20页当x < − 时， ， 单调递
′
φ (x) < 0 φ(x)
减， 当x > − 时， ， 单
′
φ (x) > 0 φ(x)
调递增， 故
( 5 ) − 5 ( ( 5 ) )
φ − = e 2 2 × − + 3 + ea (a + 3a+1)
|( 2 |( (| 2
, , ,
5
−
= −2e 2 + ea ( a2 + 3a +1 )
'.' a > 0 ， ，
a+ 2
即φ(x) >∴ e0 恒成立+， 3即a + 1) − 2 >恒 成0
立， 即 在R 上单调递′增 ，
ℎ (x) > 0
又'.' h (aℎ ) ( x=) a2 + 3a +1− e0 ( a2 + 3a +1 ) = 0 ，
故当x < a 时，h (a) < 0 ，即 F , (x) < 0 ，F (x) 单调
a a
递减； 当x > a 时，h (a) > 0 ，即 F , (x) > 0 ，F (x)
a a
单调递增；
综上所述：当 a > 0 时，F (x) 在 ( − ∞, a)上单调递减；在(a, +∞)上单调递
a
增； 【小问 3 详解】
'.' 当x ≠ a时，总有 > 0成立，
故F (x) 与x− a 同号， 即当x < a F (x) < 0
a a
时， ，
当x > a 时，F (x) > 0 ，
a
又'.' F (a) = ea ( a2 + a ) − ea ( a3 + 3a2 + a − a3 − 2a2 ) = 0 ，
a
即F a (x) 在R 上单调递增，F , (x) ≥ 0 恒成立，
a
即
:由(2) 知：h (a) = 0 ，即 F , (a) = 0 ，
a
故当x > a 时，φ(x) = ex (2x + 3)+ ea ( a2 + 3a +1 ) ≥ 0 恒成立，
'.'φ(x) = ex (2x + 3)+ ea ( a2 + 3a +1 ) ≥ ea (2a + 3)+ ea ( a2 + 3a +1 ) = ea ( a2 + 5a +
)
4 ≥ 0 ， 解得： a ≤ −4 或a ≥ −1 ，
当x < a 时，φ(x) = ex (2x + 3)+ ea ( a2 + 3a +1 ) ≤ ea ( a2 + 5a + 4 ) ≤ 0 恒成立，
第17页/共20页解得： −4 ≤ a ≤ −1，故 a = −4 或a =
− 1 ， 故f (x) 的所有 Q 点为a = −4 或
a = − 1 .
【点睛】方法点睛：本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及利用导数研究函数的零点问题，着重考
查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用
导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化
为函数的最值问题.
21. 【 答 案 】（1） Y = (0,1,1, 0) ， Z = (0, 0) ，或 Y = (0, 0,1, 0) ， Z = (1, 0) ，或 Y = (0,1, 0,
0) ， Z = (0,1) .
（2）51
（3）证明见解析
【分析】（1）直接根据定义得到所有可能的情况即可；
（2）先对段落数估计，证明一定需要 51次操作，然后构造 51次操作的例子，即可说明至少需要的操作
次 数为51；
（3）先给出具体的操作方式，然后证明该操作方式下操作的总次数不会超过n +1
. 【小问 1 详解】
由于对Y ∈Ω 进行一次“ 10 月变换 ”后就得到了Z ∈Ω ，说明 Y 一定含有2 个相同且相邻的数，从
4 2
而Y 只可能是(0,1,1, 0) ，(0, 0,1, 0) ，(0,1, 0, 0) ，对应的 Z 分别是(0, 0) ， ， .
【小问 2 详解】
(1,0) (0,1)
对每个Ω 中的元素，将其所有连续的0 和连续的1各自记为一个段落，则容易得到：
n
若对某个A 进行一次操作一得到B ，则 B 的段落数或者和A 的段落数相等，或者比A 的段落数多1，
或者 比A 的段落数多2 ；
若对某个A 进行一次操作二得到 C ，则 C 的段落数或者和A 的段落数相等，或者比A 的段落数少1，
或者 比A 的段落数少2 .
这表明，每次“ 10 月变换 ”下，变换前后元素的段落数之差的绝对值不超过2 .
现在，X = (0, 0,..., 0) ∈ Ω 的段落数为1 ， Y = (0,1, 0,1,..., 0,1)∈ Ω 的段落数为100 .
100 100
故若对X进行k 次“ 10 月变换 ”后可以得到Y ，则由前面的结论知 X, Y 包含的段落数之差的绝对值
不超 过2k ，所以 99 ≤ 2k ，得 k ≥ 50 .
如果k = 50 ，则再次由前面的结论可知，变换过程中每次都是操作二，且有 49 次变换后相比变换前的
段 落数多2 ，有1次变换后相比变换前的段落数多1 .
但在只进行操作二的情况下，0 的数量不可能减少，但X, Y 包含的0 的个数分别是100, 50 ，矛
盾. 所以k ≥ 51 .
下面的变换过程表明k = 51 是可行
的： X = (0, 0,..., 0) ∈ Ω ，
100
第18页/共20页X = (0, 0,..., 0) ∈ Ω ，
1 50
X = (0,1, 0, 0,..., 0) ∈ Ω ，
2 51
X = (0,1, 0,1, 0, 0,..., 0) ∈ Ω ，
3 52
...
X = (0,1, 0,1,..., 0,1, 0) ∈Ω
50 99
， Y = X = (0,1, 0,1,..., 0,1)
51
∈ Ω .
100
所以，至少要对X进行51次“ 10 月变换 ”才能得
到Y . 【小问 3 详解】
由于A 能通过 “ 10 月变换 ”得到B，当且仅当 B 能通过 “ 10 月变换 ”得到A ，所以我们不妨设
X 的段 落数a 不小于Y 的段落数b ，则1≤ b≤ a ≤ 2n .
此时，我们再不妨设Y 中0 的段落数不超过1的段落数，从而Y 中0 的段落数不超过 .
显然，如果X 不含1，则只需要一次操作使X含1的个数与Y相等，然后再插入至多 个连续的0
构成的 段落即可，由 +1 = n+1知结论成立.
下面考虑X含1的情况，进行如下操作：
第一步：如果X 的1的个数小于Y ，则在 X 的任意一个1右侧增加若干个1使得二者含1数量相等，
否则跳 过该步骤；
第二步：我们不断对X进行增加或删除连续若干个0 的操作.
准备工作：如果X和Y开头的数码不同，则在开头增加或删去若干个0 ，否则跳过该步
骤. 然后反复进行以下步骤：
情况 1：如果当前的X 的第一个和Y不一致的段落对应的数字是由1组成的，则在X 的该段落中间添
加若 干个0 （数量与 Y 的下一个段落的0 的个数相等），或者在该段落末尾删去X 的下一个由0 组成
的段落；
情况 2：如果当前的X 的第一个和Y不一致的段落对应的数字是由0 组成的，则在X 的该段落中间添
加或 删去若干个0 ，使得该段的 0 的个数与Y 的该段落的0 的个数相等.
如此反复后，如果第一步进行了操作，则最终X和Y一致；如果第一步没有进行操作，则最终X相
比Y 在末尾多出若干个1 .
第三步：如果X相比Y在末尾多出若干个1，则删除多余的1，否则跳过该步骤.
至此，我们就将X操作变成了Y .
由于每执行一次第二步的操作时，使得段落数增加1的准备工作和段落数减少2 的删除0 的操作的总次
数 不超过 而增加0 的操作的次数不超过 ，同时第一步和第三步不可能同时进行操作，所
以总的
第19页/共20页操作次数不会超过 a − +b+ 1 + 1b = + a ≤3 2 n+ 3 = n + 1+ ，故需要的操作次数不超过
n +1 . 2 2 2 2 2 2 2
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对“ 10 月变换 ”定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应
的 问题.
第20页/共20页
