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大联考雅礼中学 2024 届高三月考试卷（一）
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150
分.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 记等差数列{a}的前n项和为S.若a＝16，S＝35，则{a}的公差为（ ）
n n 6 5 n
A. 3 B. 2 C. －2 D. －3
3. 已知 ， 是关于x的方程 的两个根.若 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
4. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知 的解集为 ，则 的值为（ ）
.
A 1 B. 2 C. -1 D. -2
6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽
的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，
C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和
20°，且BC=100 ，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985）
A. 45.25 B. 50.76 C. 56.74 D. 58.60
7. 已知定义域是R的函数 满足： ， ， 为偶函数， ，
则 （ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -3
8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程
中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，
中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和
正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的表面积和为（ ）
.
A B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
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学科网（北京）股份有限公司要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则
B. 函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象
C. 函数 的单调递增区间为
D. 的最小正周期为
10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱 和一个四棱锥 组成，
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若平面 与平面 的交线为 ，则AC//l
C. 三棱柱 的外接球的表面积为
D. 当该几何体有外接球时，点 到平面 的最大距离为
11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，
横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链
线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可
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学科网（北京）股份有限公司以为 （其中 ， 是非零常数，无理数 ），对于函数 以下结论正
确的是（ ）
A. 是函数 为偶函数的充分不必要条件；
B. 是函数 为奇函数的充要条件；
C. 如果 ，那么 为单调函数；
在
D. 如果 ，那么函数 存 极值点.
12. 设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满足条件 ， ，
，则下列选项正确的是（ ）
A. 为递减数列 B.
C. 是数列 中的最大项 D.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 ，若 ，则 ______ .
14. 已知函数 ，则函数 的零点个数为______.
15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则平面 截此正方体所得截面面
积的最大值为______.
16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的
古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线
的方程为 ，第n根弦（ ，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线
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学科网（北京）股份有限公司l： 交于点 和 ，则 ______.
（参考数据：取 .）
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
17. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，M为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求点A到平面 的距离.
18. 记锐角 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的最大值．
19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，
每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进
球，进球者得1分，不进球者得 分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的
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学科网（北京）股份有限公司概率均为 ，甲扑到乙踢出球的概率为 ，乙扑到甲踢出球的概率 ，且各次踢球互不影响．
（1）经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；
（2）求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．
20. 已知数列 中， ， .
（1）令 ，求证：数列 是等比数列；
（2）令 ，当 取得最大值时，求 的值．
21. 已知双曲线 的焦距为10，且经过点 ．A，B为双曲线E的左、
右顶点，P为直线 上的动点，连接PA，PB交双曲线E于点C，D（不同于A，B）．
（1）求双曲线E的标准方程．
（2）直线CD是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
22. 设函数 .
（1）求 的最值；
（2）令 ， 图象上有一点列 ，若直线 的
的
斜率为 ，证明： .
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